Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики
Государственное автономное профессиональное
образовательное учреждение Чувашской Республики
«Чебоксарский техникум транспортных и строительных технологий»
(ГАПОУ «Чебоксарский техникум ТрансСтройТех»
Минобразования Чувашии)
Методическая разработка
ОДП. 01 Математика
«Логарифмическая функция. Свойства и график»
Чебоксары - 2016
Пояснительная записка………………................................................…………………………………….….…3
Теоретическое обоснование и методическая реализация…………….…................................4-10
Заключение……………………………………………………………...................................................………....11
Приложения……………………………………………………………....................................................………...13
Пояснительная записка
Методическая разработка модуля занятия по дисциплине «Математика» на тему «Логарифмическая функция. Свойства и график» из раздела «Корни, степени и логарифмы» составлена на основе Рабочей программы по математике и календарно-тематического плана. Темы занятия взаимосвязаны содержанием, основными положениями.
Цель изучения данной темы узнать понятие логарифмической функции, изучить её основные свойства, научиться строить график логарифмической функции и научиться видеть логарифмическую спираль в окружающем нас мире.
Программный материал данного занятия базируется на знаниях математики. Методическая разработка модуля занятия составлена для проведения теоретических занятий по теме: «Логарифмическая функция. Свойства и график» -1 час. В процессе практического занятия студенты закрепляют полученные знания: определения функций, их свойства и графики, преобразования графиков, непрерывные и периодические функции, обратные функции и их графики, логарифмические функции.
Методическая разработка предназначена для оказания методической помощи студентам при изучении модуля занятий по теме «Логарифмическая функция. Свойства и график». В качестве внеаудиторной самостоятельной работы студенты могут подготовить с помощью дополнительных источников сообщение на тему, «Логарифмы и их применение в природе и технике», кроссворды и ребусы. Учебные знания и профессиональные компетенции, полученные при изучении темы «Логарифмические функции, их свойства и графики» будут применены при изучении следующих разделов: «Уравнения и неравенства» и «Начала математического анализа».
Дидактическая структура урока:
Тема: « Логарифмическая функция. Свойства и график»
Тип занятия : Комбинированный.
Цели занятия:
Образовательные - формирование знаний в усвоении понятия логарифмической функции, свойства логарифмической функции; применять графики при решении задач.
Развивающие - развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.
Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения; воспитание сознательного отношения и заинтересованности к учебе.
Средства обучения:
Методическая разработка по теме;
Персональный компьютер;
Учебник Ш.А Алимов«Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. Издательство «Просвещение».
Внутрипредметные связи: показательная функция и логарифмическая функция.
Межпредметные связи: алгебра и математический анализ.
Студент должен знать:
определение логарифмической функции;
свойства логарифмической функции;
график логарифмической функции.
Студент должен уметь:
выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы;
находить логарифм числа, применять свойства логарифмов при логарифмировании;
определять положение точки на графике по ее координатам и наоборот;
применять свойства логарифмической функции при построении графиков;
Выполнять преобразования графиков.
План занятия
1. Организационный момент (1 мин).
2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся (1 мин).
3. Этап актуализации опорных знаний и умений (3 мин).
4. Проверка домашнего задания (2 мин).
5. Этап усвоения новых знаний (10 мин).
6. Этап закрепления новых знаний (15 мин).
7. Контроль усвоенного на уроке материала (10 мин).
8. Подведение итогов (2 мин).
9. Этап информирования учащихся о домашнем задании (1 мин).
Ход урока:
1. Организационный момент.
Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.
2. Постановка целей и задач урока.
Сегодня мы с вами поговорим о понятии логарифмической функции, нарисуем график функции, изучим его свойства.
3. Этап актуализации опорных знаний и умений.
Проводится в форме фронтальной работы с классом.
Какую последнюю функцию мы изучали? Схематично изобразить на доске.
Дайте определение показательной функции.
Что является корнем показательного уравнения?
Дайте определение логарифма?
Назовите свойства логарифмов?
Назовите основное логарифмическое тождество?
4. Проверка домашнего задания.
Студенты открывают тетради и показывают решенные упражнения. Задают вопросы, которые возникли при выполнении домашнего задания.
5. Этап усвоения новых знаний.
Учитель: Открывайте тетради, записывайте сегодняшнее число и тему урока «Логарифмическая функция, ее свойства и график».
Определение: Логарифмической функцией называется функция вида
Где - заданное число, .
Рассмотрим построение графика данной функции на конкретном примере.
Построим графики функций и .
| |
|
| |
|
Примечание 1: Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции , где 
. Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 1).
Опираясь на определение логарифма и вид графиков, выявим свойства логарифмической функции:
1) Область определения: , т.к. по определению логарифма х>0.
2) Область значений функции: .
3) Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: , .
4) Функция , возрастает в промежутке (рис. 1).
5) Функция , убывают в промежутке (рис. 1).
6) Промежутки знакопостоянства:
Если , то при ; при ;
Если , то при при ;
Примечание 2: График любой логарифмической функции всегда проходит через точку (1; 0).
Теорема:
Если 
, где , то .
6. Этап закрепления новых знаний.
Учитель: Решаем задания № 318 -№322 (нечётные) (§18Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс).
1) 
т.к функция возрастает.
3) , т.к функция убывает.
1) , т.к и .
3) , т.к и .
1) , т.к , , то .
3) , т.к 10> 1, , то .
1)убывает
3)возрастает.
7. Подведение итогов.
- Сегодня мы с вами хорошо поработали на уроке! Что нового вы узнали сегодня на уроке?
(Новый вид функции - логарифмическая функция)
Сформулируйте определение логарифмической функции.
(Функцию y = logax, (a > 0, a ≠ 1) называют логарифмической функцией)
Молодцы! Верно! Назовите свойства логарифмической функции.
(область определения функции, множество значений функции, монотонность, знакопостоянства)
8. Контроль усвоенного на уроке материала.
Учитель: Выясним, насколько хорошо вы усвоили тему «Логарифмическая функция. Свойства и график». Для этого напишем проверочную работу (Приложение 1). Работа состоит из четырех заданий, которые необходимо решить, применяя свойства логарифмической функции. На выполнение проверочной работы вам дается 10 минут.
9. Этап информирования учащихся о домашнем задании.
Запись на доске и в дневниках: Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. §18 №318 - №322 (четные)
Заключение
В ходе использования методической разработки мы добились всех поставленных целей и задач. В данной методической разработке были рассмотрены все свойства логарифмической функции, благодаря которым студенты научились выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы и строить графики логарифмических функций. Выполнение практических задач способствует закреплению изученного материала, а контроль проверки знаний и умений поможет преподавателям и студентам выяснить насколько эффективной была их работа на уроке. Методическая разработка позволяет студентам получить интересную и познавательную информацию по теме, обобщить и систематизировать знания, применять свойства логарифмов и логарифмической функции при решении различных логарифмических уравнений и неравенств.
Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И. под научным руководством академика Тихонова А. Н. Алгебра и начала математического анализа 10 - 11кл. - М. Просвещение, 2011.
Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. - М., 2006.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федерова Н.Е. и др. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. - М., 2005.
Лисичкин В. Т. Математика в задачах с решениями: учеб.пособие / В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик. - 3-е изд., стер. - СПб. [и др.] : Лань, 2011 (Архангельск). - 464 с.
Интернет-ресурсы:
http://school- collection.edu.ru - Электронный учебник «Математика в
школе, XXI век».
http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.
www.school-collection.edu.ru - Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов.
Приложения
Вариант 1.
Вариант 2.
Критерии оценки:
Отметка «3» (удовлетворительно) ставится за любые 2 верно выполненных примера.
Отметка «4» (хорошо) ставится при верном выполнении любых 3 примеров.
Отметка «5» (отлично) ставится за все 4 верно выполненных примеров.
Cтраница 1
Логарифмическая функция (80) осуществляет обратное отображение всей плоскости w с разрезом на полосу - я / /: я, бес-конечнолистную риманову поверхность на полную z - плоскость.
Логарифмическая функция: у logaх, где основание логарифмов а-положительное число, не равное единице.
Логарифмическая функция играет специальную роль в разработке и анализе алгоритмов, поэтому ее стоит рассмотреть подробнее. Поскольку мы часто имеем дело с аналитическими результатами, в которых опущен постоянный множитель, мы используем запись log TV, опуская основание. Изменение основания логарифма меняет значение логарифма лишь на постоянный множитель, однако, в определенном контексте возникают специальные значения основания логарифма.
Логарифмическая функция обратна показательной. График ее (рис. 247) получается из графика показательной функции (при том же основании) перегибом чертежа по биссектрисе первого координатного угла. Так же получается график всякой обратной функции.
Логарифмическая функция вводится Затем как обратная показательной. Свойства обеих функций выводятся без труда из этих определений. Именно это определение получило одобрение Гаусса, который вместе с тем выразил несогласие с оценкой, данной ему в рецензии Геттинген-ских ученых известий. При этом Гаусс подошел к вопросу с более широкой точки зрения, чем да Кунья. Последний ограничился рассмотрением показательной и логарифмической функций в действительной области, между тем как Гаусс распространил их определение на комплексные переменные.
Логарифмическая функция y logax монотонна во всей области своего определения.
Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а I, При 0 а 1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
Логарифмическая функция определена только для положительных значений х и взаимно однозначно отображает интервал (0; 4 - ос.
Логарифмическая функция у loga х является обратной функцией по отношению к показательной функции уах.
Логарифмическая функция: y ogax, где основание логарифмов а - положительное число, не равное единице.
Логарифмические функции хорошо сочетаются с физическими представлениями о характере ползучести полиэтилена в условиях, когда скорость деформации невелика. В этом отношении они совпадают с уравнением Андрааде, поэтому их иногда применяют для аппроксимации экспериментальных данных.
Логарифмическая функция, или натуральный логарифм, и In z, определяется решением трансцендентного уравнения г еи относительно и. В области действительных значений х и у при условии х 0 это уравнение допускает единственное решение.
Вещественный логарифм
Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию , например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0 , непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).
Свойства
Натуральные логарифмы
При справедливо равенство
| (1) |
В частности,
Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.
Связь с десятичным логарифмом: .
Десятичные логарифмы
Рис. 2. Логарифмическая шкала
Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки . Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:
- Химия - активность водородных ионов ().
- Теория музыки - нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.
Комплексный логарифм
Многозначная функция
Риманова поверхность
Комплексная логарифмическая функция - пример римановой поверхности ; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна ; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1 , особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).
Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0 .
Исторический очерк
Вещественный логарифм
Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra » Михаэль Штифель , который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.
В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку , до появления карманных калькуляторов - незаменимый инструмент инженера.
Близкое к современному понимание логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень - впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли , а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» () Эйлер дал современные определения как показательной , так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.
Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.
Комплексный логарифм
Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x) . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.
Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.
Логарифмические таблицы
Логарифмические таблицы
Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование , то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.
При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.
Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже - с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега () появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).
В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого . В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.
Урок алгебры в 10 классе
Тема: «Логарифмическая функция, её свойства и график»
Цели:
Образовательная : Ввести понятие логарифмической функции с применением прошлого опыта, дать определение. Изучить основные свойства логарифмической функции. Сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции.
Развивающая: Выработать умение выделять главное, сравнивать, обобщать. Формировать графическую культуру учащихся.
Воспитательная: Показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью. Формировать навыки общения, диалога, умение работать в коллективе.
Тип урока: Комбинированный
Методы обучения: Частично-поисковый, диалоговый.
Ход урока .
1.Актуализация прошлого опыта:
Учащимся предлагаются устные упражнения с использованием определения логарифма, его свойств, формул перехода к новому основанию, решения простейших логарифмических и показательных уравнений, примеров на нахождение области допустимых значений под логарифмических выражений
Устные упражнения Устная работа.
1) Вычислить, пользуясь определением логарифма: log 2 8; log 4 16;.
2) Вычислить, используя основное логарифмическое тождество:
3) Решите уравнение, используя определение:
4) Выясните, при каких значениях x имеет смысл выражение:
5) Найдите значение выражения, используя свойства логарифмов:
2. Изучение темы. Учащимся предлагается решить показательные уравнения: 2 х =у; () х =у. с помощью выражения переменной х через переменную у. В результате этой работы получаются формулы, которые задают функции, незнакомые учащимся. ,.Вопрос : «Как бы вы назвали эту функции?» учащиеся говорят, что она логарифмическая, так как переменная стоит под знаком логарифма: .
Вопрос . Дайте определение функции. Определение: Функцию, заданную формулой у=log a x называют логарифмической с основанием а (а>0, а 1)
III. Исследование функции y=log a x
Совсем недавно мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида у=log a x, и о ее графике и свойствах. Функцию, заданную формулой у=log a x называют логарифмической с основанием а (а>0, а 1)
Основные свойства логарифмической функции:
1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных действительных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а. D (f )=R+
2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество действительных чисел. E (f )= (-∞; +∞)
3 . График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).
4 . Л логарифмическая функция возраста ет при а >1, и убывает при 0<х<1.
5 . Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид а .
6 . Функция не имеет точек максимума и минимума , в области определения непрерывна .
На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0
Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.
Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций.
Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log 8 (4 - 5x).
Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных действительных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 - 5x>0. Решаем это неравенство и получаем x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) будет являться промежуток (-∞;0.8)
Графики логарифмической функции в программе GeoGebra
Графики логарифмической функции
1) натуральный логарифм y = ln (x)
2) десятичный логарифм y = lg (x)
3) логарифм по основанию 2 y = ld (x)
V. Закрепление темы
Применяя полученные свойства логарифмической функции решим следующие задания:
1. Найти область определения функции: у=log 8 (4-5x);у= log 0,5 (2х+8);.
3. Схематично построить графики функций:у=log 2 (х+2) -3 у= log 2 (х) +2
«Логарифмическая функция, её свойства и график».
Бывалина Л.Л., учитель математики МБОУ СОШ с.Киселевка Ульчского района Хабаровского края
Алгебра 10 класс
Тема урока: «Логарифмическая функция, её свойства и график».
Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
сформировать представление ологарифмической функции, ее основных свойствах;
сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции;
содействовать развитию умений выявлять свойства логарифмической функции по графику;
развитие навыков работы с текстом, умения анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать;
развитие умений работать в парах, микрогруппах (навыки общения, диалога, принятие совместного решения)
Используемые приемы: верные, неверные утверждения, ИНСЕРТ, кластер, синквейн
Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки, текстовый материал, таблицы), листы бумаги в клетку,
Ход урока:
Стадия вызова:
Вступление учителя . Мы работаем над освоением темы «Логарифмы». Что на данный момент мы знаем и умеем?
Ответы учащихся.
Знаем : определение, свойства логарифма, основное логарифмическое тождество, формулы перехода к новому основанию, области применения логарифмов.
Умеем
: вычислять логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения, производить преобразования логарифмов.
С каким понятием тесно связано понятие логарифма? (с понятием степени, т.к. логарифм – показатель степени)
Задание учащимся . Используя понятие логарифма, заполните две любые таблицы при
а > 1
и при 0 a
(Приложение №1)
х
1
2
4
8
16
х
1
2
4
8
16
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
| х | | | 1 | 3 | 9 | х | | | 1 | 3 | 9 |
|
| | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
Проверка работы групп.
Что представляют собой представленные выражения? (показательные уравнения, показательные функции)
Задание учащимся . Решите показательные уравнения с помощью выражения переменной х через переменную у .
В результате этой работы получаются формулы:
В полученных выражениях поменяем местами х и у . Что получилось у нас?
Как бы вы назвали эти функции? (логарифмические, так как переменная стоит под знаком логарифма). Как записать эту функцию в общем виде? .
Тема нашего урока «Логарифмическая функция, её свойства и график».
Логарифмическая функция – это функция вида, где а – заданное число, а>0 , а≠1 .
Наша задача – научиться строить и исследовать графики логарифмических функций, применять их свойства.
На столах у вас лежат карточки с вопросами. Все они начинаются со слов «Верите ли вы, что…»
Ответ на вопрос может быть только «да» или «нет». Если «да», то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак «+», если «нет», то знак «-». Если сомневаетесь - поставьте знак «?».
Работайте в парах. Время работы 3 минуты. (Приложение №2)
| № п/п | Вопросы: | А | Б | В |
| Верите ли вы, что… |
||||
| 1. | Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции. | + |
||
| 2. | Показательная и логарифмическая функции взаимно обратные функции | + |
||
| 3. | Графики показательной у=а х и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х. | + |
||
| 4. | Область определения логарифмической функции – вся числовая прямаях (-∞, +∞) | - |
||
| 5. | Область значений логарифмической функции – промежуток у (0, +∞) | - |
||
| 6. | Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма | + |
||
| 7. | Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1; 0). | - |
||
| 8. | Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по-другому расположенная в координатной плоскости. | + |
||
| 9. | Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма. | - |
||
| 10. | Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной. | + |
||
| 11. | Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего значения при а > 1 и наоборот при 0 a | - |
||
Заслушав ответы учащихся, заполняется первый столбец сводной таблицы на доске.
Стадия осмысления содержания
(10 мин).
Подводя итоги работы с вопросами таблицы, учитель готовит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем, правы мы или нет.
Задание группам
. Ответы на вопросы можно найти, изучив текст §4 стр.240-242. Но предлагаю не просто читать текст, а выбрать одну из четырёх ранее полученных функций:,, , , построить её график и выявить по графику свойства логарифмической функции. Каждый член группы это делает в тетради. А затем на большом листе в клетку строят график функции. После завершения работы представитель каждой из групп выступает с защитой своей работы.
Задание группам.
Обобщите свойства функции для а > 1
и 0 a
(Приложение №3)
Свойства функции у = log a x при a > 1 .
Свойства функции у = log a x , при 0 .
Ось Оу
является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда a>1
, и в случае, когда 0
График функции у = log
a
x
проходит через точку с координатами (1;0)
Задание группам. Докажите, что показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.
Ученики в одной системе координат изображают график логарифмической и показательной функции
Рассмотрим одновременно две функции: показательную у = а х и логарифмическую у = log a х .
На рис.2 схематически изображены графики функций у = а x и у = log a х в случае, когда a>1 .
На рис.3 схематически изображены графики функций у = а
x
и у = log
a
х
в случае, когда 0
рис.3.
Справедливы следующие утверждения.
График функции у = log a х симметричен графику функции у = а x относительно прямой у = х .
Множеством значения функции у = а x является множество у>0 , а областью определения функции у = log a х является множество х>0.
Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = а x , а ось Оу является вертикальной асимптотой графика функции у = log a х.
Функция у = а x возрастает при а>1 и функция у = log a х также возрастает при а>1. Функция у = а x убывает при 0у = log a х также убывает при 0
Поэтому показательная у = а
x
и логарифмическая у = log
a
х
функции взаимно обратны.
График функции у = log
a
х
называют логарифмической кривой, хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только по-другому расположенная на координатной плоскости.
Стадия рефлексии
. Предварительное подведение итогов.
Вернемся к вопросам, рассмотренным в начале урока, и обсудим полученные результаты . Посмотрим, может быть, наше мнение после работы изменилось.
Учащиеся в группах сопоставляют свои предположения с информацией, полученной в ходе работы с учебником, построения графиков функций и описаний их свойств, вносят в таблицу изменения, делятся мыслями с классом, обсуждают ответы на каждый вопрос.
Стадия вызова. Как вы думаете, в каких случаях, при выполнении каких заданий можно применить свойства логарифмической функции?
Предполагаемые ответы учащихся: решения логарифмических уравнений, неравенств, сравнения числовых выражений, содержащих логарифмы, построения, преобразования и исследования более сложных логарифмических функций.
Стадия осмысления содержания
.
Работа
на распознавание графиков логарифмических функций, нахождение области определения, определение монотонности функций. (Приложение №4)
1. Найдите область определения функции:
1) у = log 0,3 х 2) у = log 2 (х-1) 3) у = log 3 (3-х)
(0; +∞) б) (1;+∞) в) (-∞; 3) г) (0;1]
а) х≠0
б) х>0
в)
.
1
2
3
4
5
6
7
1)а, 2)б, 3)в
1)а, 2)в, 3)а
а, в
в
В, С
а)
а)
Чтобы расширить знания по изучаемому вопросу, обучающимся предлагается текст «Применение логарифмической функции в природе и технике». (Приложение №5) Используем технологический прием «Кластер» для сохранения интереса к теме.
«Находит ли эта функция применение в окружающем нас мире?», ответим на этот вопрос после работы над текстом о логарифмической спирали.
Составление кластера «Применение логарифмической функции». Ученики работают в группах, составляя кластеры. Затем происходит защита кластеров, обсуждение их.
Пример кластера.
Применение логарифмической функции
Природа
Рефлексия
О чем вы не имели представления до сегодняшнего урока, и что теперь вам стало ясно?
Что нового вы узнали о логарифмической функции и ее приложениях?
С какими трудностями вы столкнулись при выполнении заданий?
Выделите тот вопрос, который для вас оказался менее понятным.
Какая информация вас заинтересовала?
Составьте синквейн «логарифмическая функция»
Оцените работу своей группы (Приложение №6 «Лист оценки работы группы»)
Домашнее задание: § 4 стр.240-243, № 69-75 (четные)
Литература:
Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. - М. : Школа-Пресс,1998.-160 с.: ил. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 7.)
Заир.Бек С.И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей общеобразоват. учреждений. – М. Просвещение, 2011. – 223 с.
Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2010.
Корчагин В.В. ЕГЭ-2009. Математика. Тематические тренировочные задания. – М.: Эксмо, 2009.
ЕГЭ-2008. Математика. Тематические тренировочные задания/ Корешкова Т.А. и др.. – М.: Эксмо, 2008
