>>Математика:Прямая пропорциональность и ее график
Прямая пропорциональность и её график
Среди линейных функций у = kx + m особо выделяют случай, когда m = 0; в этом случае принимает вид у = kx и ее называют прямой пропорциональностью. Это название объясняется тем, что две величины у и х называют прямо пропорциональными, если их отношение равно конкретному
числу, отличному от нуля. Здесь , это число k называют коэффициентом пропорциональности.
Многие реальные ситуации моделируются с помощью прямой пропорциональности.
Например, путь s и время t при постоянной скорости, 20 км/ч связаны зависимостью s = 20t; это - прямая пропорциональность, причем k = 20.
Другой пример:
стоимость у и число х батонов хлеба по цене 5 руб. за батон связаны зависимостью у = 5х; это - прямая пропорциональность, где k = 5.
Доказательство.
Осуществим его в два этапа.
1. у = kx - частный случай линейной функции, а графиком линейной функции является прямая; обозначим ее через I.
2. Пара х = 0, у = 0 удовлетворяет уравнению у - kx, а потому точка (0; 0) принадлежит графику уравнения у = kx, т. е. прямой I.
Следовательно, прямая I проходит через начало координат. Теорема доказана.
Надо уметь переходить не только от аналитической модели у = kx к геометрической (графику прямой пропорциональности), но и от геометрической модели к аналитической. Рассмотрим, например, прямую на координатной плоскости хОу, изображенную на рисунке 50. Она является графиком прямой пропорциональности, нужно лишь найти значение коэффициента k. Так как у , то достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение ординаты этой точки к ее абсциссе. Прямая проходит через точку Р(3; 6), а для этой точки имеем: Значит, k = 2, а потому заданная прямая линия служит графиком прямой пропорциональности у = 2х.
Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции у = kx + m также называют угловым коэффициентом. Если k>0, то прямая у = kx + m образует с положительным направлением оси х острый угол (рис. 49, а), а если k < О, - тупой угол (рис. 49, б).
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиВ 7 и 8 классе изучается график прямой пропорциональности.
Как построить график прямой пропорциональности?
Рассмотрим на примерах график прямой пропорциональности.
График прямой пропорциональности формула
График прямой пропорциональности представляет функцию .
В общем виде прямая пропорциональность имеет формулу
От величины и знака коэффициента прямой пропорциональности зависит угол наклона графика прямой пропорциональности по отношению к оси икс.
График прямой пропорциональности проходит
График прямой пропорциональности проходит через начало координат.
График прямой пропорциональности есть прямая. Прямая задается двумя точками.
Таким образом при построении графика прямой пропорциональности достаточно определить положение двух точек.
Но одну из них мы всегда знаем - это начало координат.
Осталось найти вторую. Посмотрим пример построения графика прямой пропорциональности.
Постройте график прямой пропорциональности y = 2x
Задача .
Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой
Решение .
Есть все числа.
Берем любое число из области определения прямой пропорциональности, пусть это будет 1.
Найти значение функции при икс равное 1
Y = 2x =
2 * 1 = 2
то есть при x = 1 получаем y = 2. Точка с этими координатами принадлежит графику функции y = 2x.
Мы знаем, что график прямой пропорциональности есть прямая, а прямая задается двумя точками.
Основные цели:
- ввести понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости величин;
- научить решать задачи, используя эти зависимости;
- способствовать развитию умения решать задачи;
- закрепить навык решения уравнений с помощью пропорции;
- повторить действия с обыкновенными и десятичными дробями;
- развивать логическое мышление учащихся.
ХОД УРОКА
I. Самоопределение к деятельности (организационный момент)
– Ребята! Сегодня на уроке мы познакомимся с задачами, решаемыми с помощью пропорции.
II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности
2.1. Устная работа (3 мин)
– Найдите значение выражений и узнайте слово, зашифрованное в ответах.
14 – с; 0,1 – и; 7 – л; 0,2 – а; 17 – в; 25 – к
– Получилось слово – сила. Молодцы!
– Девиз нашего урока сегодня: Сила – в знаниях! Я
ищу – значит учусь!
– Составьте пропорцию из получившихся чисел. (14:
7 = 0,2: 0,1 и т.д.)
2.2. Рассмотрим зависимость между известными нам величинами (7 мин)
– путем, пройденным автомашиной с постоянной
скоростью, и временем ее движения: S = v ·t (с
увеличением скорости (времени) увеличивается
путь);
– скоростью автомашины и затраченным на
путь временем: v = S: t
(с увеличением
времени на прохождение пути, скорость
уменьшается);
–
стоимостью товара, купленного по одной
цене и его количеством:
С = а · n (с
увеличением (уменьшением) цены, увеличивается
(уменьшается) стоимость покупки);
– цены товара и его количеством: а = С: n (с
увеличением количества, уменьшается цена)
– площади прямоугольника и его длины (ширины): S = a
· b (с увеличением длины(ширины) увеличивается
площадь;
– длины прямоугольника и ширины: a = S: b (с
увеличением длины уменьшается ширина;
– числом рабочих, выполняющих с одинаковой
производительностью труда некоторую работу, и
временем выполнения этой работы: t = А: n
(с увеличением числа рабочих время,
затраченное на выполнение работы уменьшается) и
т.д.
Мы получили зависимости, в которых с
увеличением одной величины в несколько раз, тут
же во столько же раз увеличивается другая
(примеры показать стрелками) и зависимости, в
которых с увеличением одной величины в несколько
раз, вторая величина уменьшается в это же
количество раз.
Такие зависимости называются прямыми и
обратными пропорциональностями.
Прямо-пропорциональная зависимость
–
зависимость, в которой с увеличением
(уменьшением) одной величины в несколько раз,
увеличивается (уменьшается) вторая величина во
столько же раз.
Обратно-пропорциональная зависимость
– зависимость, в которой с увеличением
(уменьшением) одной величины в несколько раз,
уменьшается (увеличивается) вторая величина во
столько же раз.
III. Постановка учебной задачи
– Какая проблема встала перед нами? (Научиться
различать прямые и обратные зависимости)
– Это – цель
нашего урока. А теперь
сформулируйте тему
урока. (Прямая и
обратная пропорциональная зависимость).
– Молодцы! Запишите тему урока в тетрадях.
(Учитель записывает тему на доске.)
IV. «Открытие» нового знания (10 мин)
Разберем задачи № 199.
1. Принтер распечатывает 27 страниц за 4,5 мин. За сколько времени он распечатает 300 страниц?
27 стр. – 4,5 мин.
300 стр. – х?
2. В коробке 48 пачек чая по 250 г в каждой. Сколько получится из этого чая пачек по 150г?
48 пачек – 250 г.
х? – 150 г.
3. Автомобиль проехал 310 км, истратив 25 л бензина. Какое расстояние может проехать автомобиль на полном баке, вмещающем 40л?
310 км – 25 л
х? – 40 л
4. На одной из сцепляющих шестерен 32 зубца, а на другой – 40. Сколько оборотов сделает вторая шестерня, в то время как первая сделает 215 оборотов?
32 зубца – 315 об.
40 зубцов – х?
Для составления пропорции необходимо одно направление стрелок, для этого в обратной пропорциональности одно отношение заменяют обратным.
У доски ученики находят значение величин, на местах учащиеся решают одну на выбор задачу.
– Сформулируйте правило решения задач с прямой и обратной пропорциональной зависимостью.
На доске появляется таблица:
V. Первичное закрепление во внешней речи (10 мин)
Задания на листах:
- Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
- Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку?
VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (5 мин)
Два ученика выполняют задания № 225
самостоятельно на скрытых досках, а остальные
– в тетрадях. Затем они проверяют работу по
алгоритму и сопоставляют с решением на доске.
Ошибки исправляются, выясняются их причины. Если
задание выполнено, верно, то рядом ученики ставят
себе знак «+».
Учащиеся, допустившие ошибки в самостоятельной
работе могут использовать
консультантов.
VII. Включение в систему знаний и повторение № 271, № 270.
Шесть человек работают у доски. Через 3–4 минуты учащиеся, работавшие у доски, представляют свои решения, а остальные – проверяют задания и участвуют в их обсуждении.
VIII. Рефлексия деятельности (итог урока)
– Что нового вы узнали на уроке?
– Что повторили?
– Каков алгоритм решения задач на пропорцию?
– Мы достигли поставленной цели?
– Как оцениваете свою работу?
Типы зависимостей
Рассмотрим зарядку батареи. В качестве первой величины возьмем время, которое она заряжается. Вторая величина – время, которое она будет работать после зарядки. Чем дольше будет заряжаться батарея, тем дольше она будет работать. Процесс будет длиться до тех пор, пока батарея не полностью зарядится.
Зависимость времени работы батареи от времени, которое она заряжается
Замечание 1
Такая зависимость называется прямой :
С увеличением одной величины увеличивается и вторая. С уменьшением одной величины уменьшается и вторая величина.
Рассмотрим другой пример.
Чем больше книг прочитает ученик, тем меньше ошибок сделает в диктанте. Или чем выше подняться в горы, тем ниже будет атмосферное давление.
Замечание 2
Такая зависимость называется обратной :
С увеличением одной величины уменьшается вторая. С уменьшением одной величины увеличивается вторая величина.
Таким образом, в случае прямой зависимости обе величины изменяются одинаково (обе либо увеличиваются, либо уменьшаются), а в случае обратной зависимости – противоположно (одна увеличивается, а другая уменьшается либо наоборот).
Определение зависимостей между величинами
Пример 1
Время, затраченное для похода в гости к другу, составляет $20$ минут. При увеличении скорости (первой величины) в $2$ раза найдем, как изменится время (вторая величина), которое будет затрачено на путь к другу.
Очевидно, что время уменьшится в $2$ раза.
Замечание 3
Такую зависимость называют пропорциональной :
Во сколько раз изменится одна величина, во столько раз изменится и вторая.
Пример 2
За $2$ булки хлеба в магазине нужно заплатить 80 рублей. Если нужно купить $4$ булки хлеба (количество хлеба увеличивается в $2$ раза), во сколько раз придется больше заплатить?
Очевидно, что стоимость также увеличится в $2$ раза. Имеем пример пропорциональной зависимости.
В обоих примерах были рассмотрены пропорциональные зависимости. Но в примере с булками хлеба величины изменяются в одну сторону, следовательно, зависимость является прямой . А в примере с походом к другу зависимость между скоростью и временем – обратная . Таким образом, существует прямо пропорциональная зависимость и обратно пропорциональная зависимость .
Прямая пропорциональность
Рассмотрим $2$ пропорциональные величины: количество булок хлеба и их стоимость. Пусть $2$ булки хлеба стоят $80$ рублей. При увеличении количества булок в $4$ раза ($8$ булок) их общая стоимость будет составлять $320$ рублей.
Отношение количества булок: $\frac{8}{2}=4$.
Отношение стоимости булок: $\frac{320}{80}=4$.
Как видно, эти отношения равны между собой:
$\frac{8}{2}=\frac{320}{80}$.
Определение 1
Равенство двух отношений называется пропорцией .
При прямо пропорциональной зависимости получается отношение, когда изменение первой и второй величины совпадает:
$\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}$.
Определение 2
Две величины называются прямо пропорциональными , если при изменении (увеличении или уменьшении) одной из них во столько же раз изменяется (увеличивается или уменьшается соответственно) и другая величина.
Пример 3
Автомобиль проехал $180$ км за $2$ часа. Найти время, за которое он с той же скоростью проедет в $2$ раза большее расстояние.
Решение .
Время прямо пропорционально расстоянию:
$t=\frac{S}{v}$.
Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время:
$\frac{2S}{v}=2t$;
$\frac{3S}{v}=3t$.
Автомобиль проехал $180$ км – за время $2$ часа
Автомобиль проедет $180 \cdot 2=360$ км – за время $x$ часов
Чем больше расстояние проедет автомобиль, тем большее время ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами прямо пропорциональная.
Составим пропорцию:
$\frac{180}{360}=\frac{2}{x}$;
$x=\frac{360 \cdot 2}{180}$;
Ответ : автомобилю потребуется $4$ часа.
Обратная пропорциональность
Определение 3
Решение .
Время обратно пропорционально скорости:
$t=\frac{S}{v}$.
Во сколько раз увеличивается скорость, при том же пути, во столько же раз уменьшается время:
$\frac{S}{2v}=\frac{t}{2}$;
$\frac{S}{3v}=\frac{t}{3}$.
Запишем условие задачи в виде таблицы:
Автомобиль проехал $60$ км - за время $6$ часов
Автомобиль проедет $120$ км – за время $x$ часов
Чем больше скорость автомобиля, тем меньше времени ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами обратно пропорциональная.
Составим пропорцию.
Т.к. пропорциональность обратная, второе отношение в пропорции переворачиваем:
$\frac{60}{120}=\frac{x}{6}$;
$x=\frac{60 \cdot 6}{120}$;
Ответ : автомобилю потребуется $3$ часа.
Трихлеб Даниил ученик 7 А класса
знакомство с прямой пропорциональностью и коэффициентом прямой пропорциональности (введение понятия угловой коэффициент”);
построение графика прямой пропорциональности;
рассмотрение взаимного расположения графиков прямой пропорциональности и линейной функции с одинаковыми угловыми коэффициентами.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Прямая пропорциональность и её график
Что такое аргумент и значение функции? Какая переменная называется независимой, зависимой? Что такое функция? ПОВТОРЕНИЕ Что такое область определения функции?
Способы задания функции. Аналитический (с помощью формулы) Графический (с помощью графика) Табличный (с помощью таблицы)
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции. ГРАФИК ФУНКЦИИ
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
ВЫПОЛНИТЕ ЗАДАНИЕ Постройте график функции y = 2 x +1, где 0 ≤ х ≤ 4 . Составьте таблицу. По графику найдите значение функции при х=2,5 . При каком значении аргумента значение функции равно 8 ?
Определение Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у= k х, где х - независимая переменная, k - не равное нулю число. (k- коэффициент прямой пропорциональности) Прямая пропорциональная зависимость
8 График прямой пропорциональ - ности - прямая, проходящая через начало координат (точку О(0,0)) Чтобы построить график функции y= kx , достаточно двух точек, одна из которых О (0,0) При k > 0 график расположен в I и III координатных четвертях. При k
Графики функций прямой пропорциональности y x k>0 k>0 k
Задание Определите, на каком из графиков изображена функция прямой пропорциональности.
Задание Определите, график какой функции изображен на рисунке. Выберите формулу из трех предложенных.
Устная работа. Может ли график функции, заданной формулой у= k х, где k
Определите, какие из точек А(6,-2), В(-2,-10),С(1,-1),Е(0,0) принадлежат графику прямой пропорциональности, заданной формулой у = 5х 1) А(6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - неверно. Точка А не принадлежит графику функции у=5х. 2) В(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - верно. Точка В принадлежит графику функции у=5х. 3) С(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - неверно Точка С не принадлежит графику функции у=5х. 4) Е (0;0) 0 = 5 0 0 = 0 - верно. Точка Е принадлежит графику функции у=5х
ТЕСТ 1 вариант 2 вариант №1. Какие из функций, заданные формулой, являются прямой пропорциональной зависимостью? А. y = 5x В. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
№2. Выпишите номера прямых y = kx , где k > 0 1 вариант k
№3. Определите, какие из точек принадлеж a т графику прямой пропорциональности, заданной формулой У= -1 /3 Х А(6 -2) ,В(-2 -10) 1 вариант С(1,-1),Е(0,0) 2 вариант
y =5x y =10x III А VI и IV E 1 2 3 1 2 3 № Правильный ответ Правильный ответ №
Выполните задание: Покажите схематически, как расположен график функции, заданной формулой: y =1,7 x у =-3 ,1 х у=0,9 х у=-2,3 х
ЗАДАНИЕ Из следующих графиков выберите только графики прямой пропорциональности.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Функции у = 2х + 3 2. у = 6/ х 3. у = 2х 4. у = - 1,5х 5. у = - 5/ х 6. у = 5х 7. у = 2х – 5 8. у = - 0,3х 9. у = 3/ х 10. у = - х /3 + 1 Выберите функции вида у= k х (прямая пропорциональность) и выпишите их
Функции прямой пропорциональности У = 2х У = -1,5х У = 5х У = -0,3х у х
у Линейные функции, не являющиеся функциями прямой пропорциональности 1) у = 2х + 3 2) у = 2х – 5 х -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 у = 2х + 3 у = 2х - 5
Домашнее задание: п.15 стр.65-67, № 307; № 308.
Еще раз давайте повторим. Что вы узнали нового? Чему научились? Что показалось особенно трудным?
Понравился урок и тема понята: Понравился урок, но не всё ещё понятно: Урок не понравился и тема не понятна.
