Как известно, любой экзамен по математике содержит в качестве основной части решение задач. Умение решать задачи – основной показатель уровня математического развития.

Достаточно часто на школьных экзаменах, а так же на экзаменах, проводимых в ВУЗах и техникумах, встречаются случаи, когда ученики, показывающие хорошие результаты в области теории, знающие все необходимые определения и теоремы, запутываются при решении весьма простых задач.

За годы обучения в школе каждый ученик решает большое число задач, но при этом для всех учеников задачи предлагаются одни и те же. И если некоторые ученики усваивают общие правила и методы решения задач, то другие, встретившись с задачей незнакомого вида, даже не знают, как к ней подступиться.

Одной из причин такого положения является то, что если одни ученики вникают в ход решения задачи и стараются осознать и понять общие приёмы и методы их решения, то другие не задумываются над этим, стараются как можно быстрее решить предложенные задачи.

Многие учащиеся не анализируют решаемые задачи, не выделяют для себя общие приёмы и способы решения. В таких случаях задачи решаются только ради получения нужного ответа.

Так, например, многие учащиеся даже не знают, в чём суть решения задач на построение. А ведь задачи на построение являются обязательными задачами в курсе стереометрии. Эти задачи не только красивы и оригинальны в методах своего решения, но и имеют большую практическую ценность.

Благодаря задачам на построение развивается способность мысленно представлять себе ту или иную геометрическую фигуру, развивается пространственное мышление, логическое мышление, а так же геометрическая интуиция. Задачи на построение развивают навыки решения проблем практического характера.

Задачи на построения не являются простыми, так как единого правила или алгоритма для их решения не существует. Каждая новая задача уникальна и требует индивидуального подхода к решению.

Процесс решения любой задачи на построение – это последовательность некоторых промежуточных построений, приводящих к цели.

Построение сечений многогранников базируется на следующих аксиомах:

1) Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в данной плоскости;

2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.

Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С. Рассмотрим следующие примеры.

Метод следов

I. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости одного из оснований призмы и точку А.

Случай 1.

Точка А принадлежит другому основанию призмы (или грани, параллельной прямой g) – секущая плоскость пересекает это основание (грань) по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Точка А принадлежит боковой грани призмы:

Отрезок ВС прямой AD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую g в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.

II. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости основания пирамиды и точку А.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Случай 1.

Если точка А принадлежит грани, параллельной прямой g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Если точка А, принадлежащая сечению, расположена на грани, не параллельной грани следу g, то:

1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;

2) проводится прямая через точки А и D.

Отрезок ВС прямой АD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из боковых ребер.

Задачи на построение сечений через точку на грани

1. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через вершину С и точки М и N на гранях АСD и АВС соответственно.

Точки С и М лежат на грани АСD, значит, и прямая СМ лежит в плоскости этой грани (рис. 1).

Пусть Р – точка пересечения прямых СМ и АD. Аналогично, точки С и N лежат в грани АСВ, значит прямая СN лежит в плоскости этой грани. Пусть Q – точка пересечения прямых СN и АВ. Точки Р и Q принадлежат и плоскости сечения, и грани АВD. Поэтому отрезок РQ – сторона сечения. Итак, треугольник СРQ – искомое сечение.

2. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью MPN, где точки M, N, P лежат соответственно на ребре АD, в грани ВСD и в грани АВС, причем MN не параллельно плоскости грани АВС (рис. 2) .

Остались вопросы? Не знаете, как построить сечение многогранника?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Пример.

Построить сечение плоскостью (MNP)

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

Треугольник MNP — искомое сечение.

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

Треугольник BKL — искомое сечение.

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

Правильная шестиугольная пирамида, пересе­ченная фронтально-проецирующей плоскостью Р, показана на рис. 180.

Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным сле-

дом P v плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, кото­рые являются точками пересечения плоскости Р с ребрами пирамиды.

Действительный вид фигуры сечения в этом примере определяется способом совмещения.

Развертка боковой поверхности усеченной пи­рамиды с фигурой сечения и фигурой основания приведена на рис. 180, б.

Сначала строят развертку неусеченной пирами­ды, все грани которой, имеющие форму треуголь­ника, одинаковы. На плоскости намечают точку s l (вершину пирамиды) и из нее, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительную длину ребра можно определить по профильной проекции пирамиды, например отрезки s"e" или s"b", так как эти ребра парал­лельны плоскости W и изображаются на ней дей­ствительной длиной. Далее по дуге окружности от любой точки, например а 1 , откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника – основания пира­миды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции (отрезок ab). Точки a 1 ...f 1 соединяют прямыми с вершиной s 1 . Затем от вершины a 1 на этих пря­мых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости.

На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух от-

резкое – s"5 и s"2. Действительные длины ос­тальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через вершину s. Например, повер­нув отрезок s"6" около оси до положения, парал­лельного плоскости W, получим на этой плоскости его действительную длину. Для этого достаточно через точку 6" провести горизонтальную прямую до пересечения с действительной длиной ребра SE или SB. Отрезок s"6 0 ″ (см. рис. 180).

Полученные точки 1 1 2 1 , 3 1 , и т.д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрихпунктирной линией с двумя точками.

Построение изометрической проекции усечен­ной пирамиды начинают с построения изометри­ческой проекции основания пирамиды по разме­рам, взятым с горизонтальной проекции комплек­сного чертежа. Затем на плоскости основания по координатам точек 1...6 строят горизонтальную проекцию сечения (см. тонкие синие линии на рис. 180, а, в). Из вершин полученного шести­угольника проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты, взятые с фрон­тальной или профильной проекций призмы, на­пример, отрезки К { , К 2 , К 3 и т.д. Полученные точки 1...6 соединяем, получаем фигуру сечения. Соединив точки 1...6 с вершинами шестиугольни­ка, основания пирамиды, получим изометричес­кую проекцию усеченной пирамиды. Невидимые ребра изображают штриховыми линиями.

Пример сечения треугольной неправильной пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью показан на рис. 181.

Все ребра на трех плоскостях проекций изобра­жены с искажением. Горизонтальная проекция

основания представляет собой его действительный вид, так как основание пирамиды расположено на плоскости Н .

Действительный вид 1 0 , 2 0 , 3 0 фигуры сечения получен способом перемены плоскостей проекций. В данном примере горизонтальная плоскость про­екций Н заменена новой плоскостью, которая параллельна плоскости Р; новая ось х 1 совмещена со следом Р V (рис. 181, а).

Развертку поверхности пирамиды строят следующим образом. Способом вращения находят дей­ствительную длину ребер пирамиды и их отрезков от основания до секущей плоскости Р.

Например, действительные длины ребра SC иего отрезка СЗ равны соответственно длине фрон­тальной проекции s"c" ребра и отрезка c 1 ′3 1 по­сле поворота.

Затем строят развертку треугольной неправильной пирамиды (рис. 181, в). Для этого из произ­вольной точки S проводят прямую, на кот, откладывают действительную длину ребра SA. Из точки s делают засечку радиусом R 1 , равным действительной длине ребра SB, а из точки засечку радиусом R 2 , равным стороне основания пирамиды АВ, в результате чего получают точку b 1 и грань s 1 b 1 a 1 . Затем из точек s и b 1 как из центров, делают засечки радиусами, равными действительной длине ребра SC и стороне ВС получают грань s 1 b 1 с 1 пирамиды. Также строится грань s 1 с 1 a 1 .

От точек а 1 b 1 и с 1 откладывают действительные длины отрезков ребер, которые берут на фронтальной проекции (отрезки а 1 ′1 1 ′, b 1 ′2 1 ′,с 1 ′3 1 ′ ). Используя метод триангуляции, пристраивают основание и фигуру сечения.

Для построения изометрической проекции усе­ченной пирамиды (рис. 181, б) проводят изомет­рическую ось х. По координатам т и п строят основание пирамиды ABC. Сторона основания АС параллельна оси х или совпадает с осью х. Как и в предыдущем примере, строят изометрическую проекцию горизонтальной проекции фигуры сече­ния 1 2 2 2 3 2 (используя точки I, III и IV). Из этих точек проводят вертикальные прямые, на которых откладывают отрезки, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы К 1 , К 2 и К 3 . Полу­ченные точки 1 , 2, 3 соединяют прямыми между собой и с вершинами основания.

Введение

Когда мы начали изучать стереометрические фигуры мы затронули тему «Пирамида». Нам понравилась это тема, потому что пирамида очень часто употребляется в архитектуре. И так как наша будущая профессия архитектора, вдохновившись этой фигурой, мы думаем, что она сможет подтолкнуть нас к отличным проектам.

Прочность архитектурных сооружений, важнейшее их качество. Связывая прочность, во-первых, с теми материалами, из которых они созданы, а, во-вторых, с особенностями конструктивных решений, оказывается, прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой.

Другими словами, речь идет о той геометрической фигуре, которая может рассматриваться как модель соответствующей архитектурной формы. Оказывается, что геометрическая форма также определяет прочность архитектурного сооружения.

Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид.

Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.

Цель проекта : узнать что-то новое о пирамидах, углубить знания и найти практическое применение.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

· Узнать исторические сведения о пирамиде

· Рассмотреть пирамиду, как геометрическую фигуру

· Найти применение в жизни и архитектуре

· Найти сходство и различие пирамид, расположенных в разных частях света

Теоретическая часть

Исторические сведения

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них - пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Население страны работало на строительстве гробницы в свободную от сельскохозяйственных работ часть года. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.

Основные понятия

Пирамидой называется многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;

Боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине;

Боковые ребра - общие стороны боковых граней;

Вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

Высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

Диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Основные свойства правильной пирамиды

Боковые ребра, боковые грани и апофемы соответственно равны.

Двугранные углы при основании равны.

Двугранные углы при боковых ребрах равны.

Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.

Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

Основные формулы пирамиды

Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Площадью боковой поверхности пирамиды (полной и усечённой) называется сумма площадей всех ее боковых граней, площадью полной поверхности – сумма площадей всех ее граней.

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

p - периметр основания;

h - апофема.

Площадь боковой и полной поверхностей усеченной пирамиды.

p 1 , p 2 - периметры оснований;

h - апофема.

Р - площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды;

S бок - площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;

S 1 + S 2 - площади основания

Объем пирамиды

Формула объёма используется для пирамид любого вида.

H - высота пирамиды.

Углы пирамиды

Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.

Двугранный угол образуется двумя перпендикулярами.

Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах .

Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания .

Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.

Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды .

Сечения пирамиды

Поверхность пирамиды – это поверхность многогранника. Каждая ее грань представляет собой плоскость, поэтому сечение пирамиды, заданной секущей плоскостью – это ломаная линия, состоящая из отдельных прямых.

Диагональное сечение

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих на одной грани, называется диагональным сечением пирамиды.

Параллельные сечения

Теорема :

Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то боковые ребра и высоты пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

Сечением этой плоскости является многоугольник, подобный основанию;

Площади сечения и основания относятся друг к другу как квадраты их расстояний от вершины.

Виды пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

У правильной пирамиды:

1. боковые ребра равны

2. боковые грани равны

3. апофемы равны

4. двугранные углы при основании равны

5. двугранные углы при боковых ребрах равны

6. каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания

7. каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней

Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Основание и соответствующие сечение усеченной пирамиды называются основаниями усеченной пирамиды .

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания на плоскость другого, называется высотой усеченной пирамиды.

Задачи

№1. В правильной четырехугольной пирамиде точка О – центр основания, SO=8 cм, BD=30 см. Найдите боковое ребро SA.

Решение задач

№1. В правильной пирамиде все грани и ребра равны.

Рассмотрим OSB: OSB-прямоугольный прямоугольник, т. к.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Пирамида в архитектуре

Пирамида - монументальное сооружение в форме обычной правильной геометрической пирамиды, в которой боковые стороны сходятся в одной точке. По функциональному назначению пирамиды в древности были местом захоронения или поклонения культу. Основа пирамиды может быть треугольной, четырехугольной или в форме многоугольника с произвольным числом вершин, но наиболее распространенной версией является четырехугольная основа.

Известно немалое количество пирамид, построенных разными культурами Древнего мира в основном в качестве храмов или монументов. К крупным пирамидам относятся египетские пирамиды.

По всей Земле можно увидеть архитектурные сооружения в виде пирамид. Здания-пирамиды напоминают о древних временах и очень красиво выглядят.

Египетские пирамиды величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «Семи чудес света» пирамида Хеопса. От подножия до вершины она достигает 137, 3 м, а до того, как утратила верхушку, высота ее была 146, 7 м

Здание радиостанции в столице Словакии, напоминающее перевернутую пирамиду, было построено в 1983 г. Помимо офисов и служебных помещений, внутри объема находится достаточно вместительный концертный зал, который имеет один из самых больших органов в Словакии.

Лувр, который "молчит неизменно и величественно, как пирамида" на протяжении веков перенёс немало изменений прежде, чем превратиться в величайший музей мира. Он родился как крепость, воздвигнутая Филиппом Августом в 1190 г., вскоре превратившаяся в королевскую резиденцию. В 1793 г. дворец становится музеем. Коллекции обогащаются благодаря завещаниям или покупкам.

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника -- основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,-- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 18).

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань -- треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной - сторона основания пирамиды.

Высотой пирамиды, называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

У пирамиды, изображенной на рисунке 18, основание -- многоугольник А1А2 …An, вершина пирамиды - S, боковые ребра -- SА1, S А2, …, S Аn, боковые грани - SА1А2, SА2А3, ... .

В дальнейшем мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.

Построение пирамиды и ее плоских сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 18 показано изображение пятиугольной пирамиды.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 19). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды (рис. 20).

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Если на грани, не параллельной следу g, известна какая-нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани -- точка D на рисунке 21. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.