मला आवडणारे गणित. मला अभ्यास करायचा आहे - निराकरण न झालेल्या समस्या अनसुलझे प्रमेय

"मला एवढेच माहित आहे की मला काहीही माहित नाही, परंतु इतरांनाही ते माहित नाही"
(सॉक्रेटीस, प्राचीन ग्रीक तत्वज्ञानी)

सार्वभौमिक मनाचे मालक आणि सर्व काही जाणून घेण्यासाठी कोणालाही दिलेले नाही. तरीसुद्धा, बहुतेक शास्त्रज्ञ, आणि ज्यांना फक्त विचार करणे आणि शोधणे आवडते, त्यांना नेहमीच अधिक जाणून घेण्याची, रहस्ये सोडवण्याची इच्छा असते. पण मानवतेत अजूनही न सुटलेले विषय आहेत का? शेवटी, असे दिसते की सर्वकाही आधीच स्पष्ट आहे आणि आपल्याला फक्त शतकानुशतके मिळवलेले ज्ञान लागू करण्याची आवश्यकता आहे?

निराश होऊ नका! गणित, तर्कशास्त्राच्या क्षेत्रातील अजूनही निराकरण न झालेल्या समस्या आहेत, ज्या 2000 मध्ये केंब्रिज (मॅसॅच्युसेट्स, यूएसए) येथील क्ले मॅथेमॅटिकल इन्स्टिट्यूटच्या तज्ञांनी मिलेनियमच्या तथाकथित 7 रहस्यांच्या यादीमध्ये एकत्र केल्या (मिलेनियम प्राइज समस्या). या समस्या संपूर्ण ग्रहावरील शास्त्रज्ञांना चिंतित करतात. तेव्हापासून आजपर्यंत, कोणीही एखाद्या समस्येवर उपाय शोधल्याचा दावा करू शकतो, एक गृहितक सिद्ध करू शकतो आणि बोस्टन अब्जाधीश लँडन क्ले (ज्यांच्या नावावरून संस्थेचे नाव आहे) कडून पुरस्कार प्राप्त करू शकतो. त्यांनी या उद्देशासाठी आधीच $7 दशलक्ष वाटप केले आहे. तसे, आज, एक समस्या आधीच सोडवली गेली आहे.

तर, तुम्ही गणितातील कोडे शिकण्यास तयार आहात का?

नेव्हियर-स्टोक्स समीकरणे (1822 मध्ये तयार)

फील्ड: हायड्रोएरोडायनामिक्स

अशांत, हवा आणि द्रव प्रवाहाची समीकरणे नेव्हीअर-स्टोक्स समीकरणे म्हणून ओळखली जातात. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही एखाद्या तलावावर एखाद्या गोष्टीवर तरंगत असाल तर तुमच्याभोवती लाटा अपरिहार्यपणे उद्भवतील. हे एअरस्पेसवर देखील लागू होते: जेव्हा विमानात उड्डाण केले जाते तेव्हा हवेत अशांत प्रवाह देखील तयार होतात.
ही समीकरणे फक्त निर्माण करतात चिकट द्रवपदार्थाच्या गतीच्या प्रक्रियेचे वर्णनआणि सर्व हायड्रोडायनामिक्सची मुख्य समस्या आहेत. काही विशिष्ट प्रकरणांसाठी, निराकरणे आधीच सापडली आहेत ज्यात समीकरणांचे काही भाग टाकून दिले आहेत कारण अंतिम निकालावर कोणताही परिणाम होत नाही, परंतु या समीकरणांची निराकरणे सामान्य स्वरूपात आढळली नाहीत.
समीकरणांवर उपाय शोधणे आणि गुळगुळीत कार्ये ओळखणे आवश्यक आहे.

रिमन गृहीतक (1859 मध्ये तयार)

फील्ड: संख्या सिद्धांत

हे ज्ञात आहे की सर्व नैसर्गिक संख्यांमध्ये मूळ संख्यांचे वितरण (जे केवळ स्वतः आणि एकाने विभाज्य आहेत: 2,3,5,7,11…) कोणतीही नियमितता पाळत नाही.
जर्मन गणितज्ञ रिमन यांनी या समस्येबद्दल विचार केला, ज्याने मूळ संख्यांच्या विद्यमान अनुक्रमांच्या गुणधर्मांबद्दल सैद्धांतिकदृष्ट्या त्यांची धारणा बनवली. तथाकथित जोडलेल्या अविभाज्य संख्या फार पूर्वीपासून ज्ञात आहेत - दुहेरी अविभाज्य संख्या, ज्यामधील फरक 2 च्या बरोबरीचा आहे, उदाहरणार्थ, 11 आणि 13, 29 आणि 31, 59 आणि 61. कधीकधी ते संपूर्ण क्लस्टर बनवतात, उदाहरणार्थ, 101 , 103, 107, 109 आणि 113 .
जर असे संचयन आढळले आणि एक विशिष्ट अल्गोरिदम प्राप्त झाला, तर यामुळे एन्क्रिप्शनच्या क्षेत्रातील आपल्या ज्ञानात क्रांतिकारक बदल होईल आणि इंटरनेट सुरक्षिततेच्या क्षेत्रात अभूतपूर्व प्रगती होईल.

पॉईनकेअर समस्या (1904 मध्ये तयार केली गेली. 2002 मध्ये सोडवली.)

फील्ड: बहुआयामी स्पेसची टोपोलॉजी किंवा भूमिती

समस्येचे सार टोपोलॉजीमध्ये आहे आणि या वस्तुस्थितीत आहे की जर तुम्ही रबर बँड ताणला असेल, उदाहरणार्थ, सफरचंद (गोलाकार) वर, तर ते एका बिंदूवर संकुचित करणे सैद्धांतिकदृष्ट्या शक्य होईल, टेपला हळू हळू हलवा. पृष्ठभागावरून काढून टाकणे. तथापि, तीच टेप डोनट (टोरस) भोवती खेचल्यास, टेप तोडल्याशिवाय किंवा डोनट स्वतःच तोडल्याशिवाय टेप दाबणे शक्य नाही. त्या. गोलाची संपूर्ण पृष्ठभाग फक्त जोडलेली असते, तर टॉरसची नसते. कार्य फक्त गोल जोडलेले आहे हे सिद्ध करणे होते.

लेनिनग्राड भौमितिक शाळेचे प्रतिनिधी ग्रिगोरी याकोव्हलेविच पेरेलमन Poincaré समस्या सोडवल्याबद्दल क्ले इन्स्टिट्यूट ऑफ मॅथेमॅटिक्स मिलेनियम प्राइज (2010) चा प्राप्तकर्ता आहे. त्याने प्रसिद्ध फिल्डेस पारितोषिक नाकारले.

हॉज गृहीतक (1941 मध्ये तयार)

फील्ड: बीजगणितीय भूमिती

प्रत्यक्षात, अनेक साध्या आणि अधिक जटिल भौमितिक वस्तू आहेत. वस्तू जितकी गुंतागुंतीची तितकी तिचा अभ्यास करणं तितकंच अवघड. आता शास्त्रज्ञांनी शोध लावला आहे आणि या ऑब्जेक्टचा अभ्यास करण्यासाठी एका संपूर्ण भागाच्या ("विटा") वापरावर आधारित शक्ती आणि मुख्य दृष्टिकोन वापरत आहेत, उदाहरणार्थ - एक कन्स्ट्रक्टर. "विटांचे" गुणधर्म जाणून घेतल्यास, ऑब्जेक्टच्या गुणधर्मांकडे जाणे शक्य होते.या प्रकरणातील हॉज गृहीतक "विटा" आणि वस्तू दोन्हीच्या काही गुणधर्मांशी जोडलेले आहे.
बीजगणितीय भूमितीमध्ये ही एक अतिशय गंभीर समस्या आहे: साध्या "विटांच्या" मदतीने जटिल वस्तूंचे विश्लेषण करण्यासाठी अचूक मार्ग आणि पद्धती शोधणे.

यांग-मिल्स समीकरणे (1954 मध्ये तयार)

फील्ड: भूमिती आणि क्वांटम भौतिकशास्त्र

भौतिकशास्त्रज्ञ यांग आणि मिल्स प्राथमिक कणांच्या जगाचे वर्णन करतात. त्यांनी, भूमिती आणि प्राथमिक कण भौतिकशास्त्र यांच्यातील संबंध शोधून, क्वांटम भौतिकशास्त्राच्या क्षेत्रात त्यांची स्वतःची समीकरणे लिहिली. त्याद्वारे इलेक्ट्रोमॅग्नेटिक, कमकुवत आणि मजबूत परस्परसंवादांचे सिद्धांत एकत्र करण्याचा मार्ग सापडला.
मायक्रोपार्टिकल्सच्या पातळीवर, एक "अप्रिय" प्रभाव उद्भवतो: जर एका कणावर अनेक फील्ड एकाच वेळी कार्य करतात, तर त्यांचा एकत्रित परिणाम त्या प्रत्येकाच्या कृतीमध्ये स्वतंत्रपणे विघटित होऊ शकत नाही. हे या सिद्धांतामुळे आहे की केवळ पदार्थाचे कण एकमेकांकडे आकर्षित होत नाहीत तर फील्ड लाइन्स देखील आकर्षित होतात.
जरी यांग-मिल्सची समीकरणे जगातील सर्व भौतिकशास्त्रज्ञांनी मान्य केली असली तरी, प्राथमिक कणांच्या वस्तुमानाच्या अंदाजासंबंधीचा सिद्धांत प्रायोगिकरित्या सिद्ध झालेला नाही.

बर्च आणि स्विनरटन-डायर गृहीतक (1960 मध्ये तयार)

फील्ड: बीजगणित आणि संख्या सिद्धांत

गृहीतक लंबवर्तुळाकार वक्रांच्या समीकरणांशी आणि त्यांच्या तर्कसंगत समाधानांच्या संचाशी संबंधित. फर्मॅटच्या प्रमेयाच्या पुराव्यामध्ये, लंबवर्तुळाकार वक्रांनी सर्वात महत्वाचे स्थान व्यापले आहे. आणि क्रिप्टोग्राफीमध्ये, ते नावाचाच संपूर्ण विभाग तयार करतात आणि काही रशियन डिजिटल स्वाक्षरी मानके त्यांच्यावर आधारित आहेत.
समस्या अशी आहे की तुम्हाला बीजगणितीय समीकरणांच्या x, y, z पूर्णांकांमध्ये, म्हणजेच पूर्णांक गुणांक असलेल्या अनेक चलांमधील समीकरणांचे वर्णन करणे आवश्यक आहे.

कुकची समस्या (1971 मध्ये तयार)

फील्ड: गणितीय तर्कशास्त्र आणि सायबरनेटिक्स

याला "क्लास P आणि NP ची समानता" देखील म्हणतात आणि अल्गोरिदम, तर्कशास्त्र आणि संगणक विज्ञानाच्या सिद्धांतातील ही सर्वात महत्वाची समस्या आहे.
समस्येच्या निराकरणाची शुद्धता तपासण्याची प्रक्रिया या समस्येच्या निराकरणासाठी खर्च केलेल्या वेळेपेक्षा जास्त काळ टिकते का?(पडताळणी अल्गोरिदमची पर्वा न करता)?
आपण परिस्थिती आणि अल्गोरिदम बदलल्यास समान समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, कधीकधी, भिन्न वेळ लागतो. उदाहरणार्थ: मोठ्या कंपनीत तुम्ही मित्र शोधत आहात. जर तुम्हाला माहित असेल की तो कोपऱ्यात किंवा टेबलवर बसला आहे, तर तुम्हाला त्याला पाहण्यासाठी काही सेकंद लागतील. परंतु जर तुम्हाला ती वस्तू नेमकी कुठे आहे हे माहित नसेल, तर सर्व पाहुण्यांना मागे टाकून ते शोधण्यात अधिक वेळ घालवा.
मुख्य प्रश्न असा आहे: सर्व किंवा सर्व समस्या ज्या सहज आणि त्वरीत तपासल्या जाऊ शकतात त्या सहज आणि त्वरीत सोडवल्या जाऊ शकतात?

गणित, जसे अनेकांना वाटते, ते वास्तवापासून इतके दूर नाही. ही एक यंत्रणा आहे ज्याद्वारे आपल्या जगाचे आणि अनेक घटनांचे वर्णन केले जाऊ शकते. गणित सर्वत्र आहे. आणि VO बरोबर होते. क्ल्युचेव्हस्की, ज्याने म्हटले: "आंधळा पाहू शकत नाही हा फुलांचा दोष नाही".

अनुमान मध्ये….

गणितातील सर्वात लोकप्रिय प्रमेयांपैकी एक - Fermat's Last theorem: an + bn = cn - 358 वर्षे सिद्ध होऊ शकले नाही! आणि फक्त 1994 मध्ये ब्रिटन अँड्र्यू वाइल्स तिला समाधान देण्यास सक्षम होते.

तर, फर्मॅटचे शेवटचे प्रमेय (ज्याला बर्‍याचदा फर्मॅटचे शेवटचे प्रमेय म्हटले जाते), 1637 मध्ये हुशार फ्रेंच गणितज्ञ पियरे फर्मेट यांनी तयार केले होते, हे त्याचे सार अगदी सोपे आहे आणि माध्यमिक शिक्षण असलेल्या कोणत्याही व्यक्तीला समजण्यासारखे आहे. ते म्हणते की a ते n + b ची घात n \u003d c ची n ची घात या सूत्रामध्ये n > 2 साठी कोणतेही नैसर्गिक (म्हणजे अपूर्णांक नसलेले) उपाय नाहीत. सर्व काही सोपे आणि स्पष्ट दिसते. , परंतु सर्वोत्तम गणितज्ञ आणि साध्या हौशींनी साडेतीन शतकांहून अधिक काळ उपाय शोधण्यासाठी संघर्ष केला.

ती इतकी प्रसिद्ध का आहे? आता जाणून घेऊया...

काही सिद्ध, सिद्ध न झालेली आणि तरीही सिद्ध न झालेली प्रमेये आहेत का? गोष्ट अशी आहे की फर्मॅटचे शेवटचे प्रमेय हे सूत्रीकरणाची साधेपणा आणि पुराव्याची जटिलता यांच्यातील सर्वात मोठा विरोधाभास आहे. फर्मॅटचे शेवटचे प्रमेय हे आश्चर्यकारकपणे कठीण काम आहे, आणि तरीही त्याचे सूत्रीकरण माध्यमिक शाळेच्या 5 व्या इयत्तेसह प्रत्येकाला समजू शकते, परंतु याचा पुरावा अगदी प्रत्येक व्यावसायिक गणितज्ञांपासून दूर आहे. ना भौतिकशास्त्रात, ना रसायनशास्त्रात, ना जीवशास्त्रात, ना त्याच गणितात अशी एकही समस्या नाही जी इतक्या सोप्या पद्धतीने मांडली जाईल, पण इतके दिवस ती सुटलेली नाही. 2. त्यात काय समाविष्ट आहे?

चला पायथागोरियन पॅंटसह प्रारंभ करूया शब्दरचना खरोखरच सोपी आहे - पहिल्या दृष्टीक्षेपात. आपल्याला लहानपणापासून माहित आहे की, "पायथागोरियन पॅंट सर्व बाजूंनी समान आहेत." समस्या खूप सोपी दिसते कारण ती प्रत्येकाला माहीत असलेल्या गणितीय विधानावर आधारित होती - पायथागोरियन प्रमेय: कोणत्याही काटकोन त्रिकोणामध्ये, कर्णावर बांधलेला चौरस पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या बेरजेइतका असतो.

5 व्या शतकात इ.स.पू. पायथागोरसने पायथागोरस बंधुत्वाची स्थापना केली. पायथागोरियन लोकांनी इतर गोष्टींबरोबरच x²+y²=z² या समीकरणाचे समाधान करणाऱ्या पूर्णांक तिप्पटांचा अभ्यास केला. त्यांनी हे सिद्ध केले की असंख्य पायथागोरियन ट्रिपल्स आहेत आणि त्यांना शोधण्यासाठी सामान्य सूत्रे मिळविली. त्यांनी बहुधा तिप्पट आणि उच्च पदव्या शोधण्याचा प्रयत्न केला. हे कार्य करत नाही याची खात्री पटल्याने, पायथागोरियन लोकांनी त्यांचे व्यर्थ प्रयत्न सोडले. बंधुत्वाचे सदस्य गणितज्ञांपेक्षा तत्वज्ञ आणि सौंदर्यशास्त्रज्ञ होते.

म्हणजेच, समानता x² + y² = z² पूर्ण करणारे संख्यांचा संच उचलणे सोपे आहे.

3, 4, 5 पासून सुरू होत आहे - खरंच, प्राथमिक शाळेतील विद्यार्थ्याला समजते की 9 + 16 = 25.

किंवा 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. छान.

बरं, वगैरे. जर आपण समान समीकरण x³+y³=z³ घेतले तर? कदाचित अशी संख्या देखील आहेत?

आणि असेच (चित्र 1).

बरं, ते असं करत नाहीत. येथूनच युक्ती सुरू होते. साधेपणा स्पष्ट आहे, कारण एखाद्या गोष्टीची उपस्थिती सिद्ध करणे कठीण आहे, परंतु, त्याउलट, अनुपस्थिती. जेव्हा एखादा उपाय आहे हे सिद्ध करणे आवश्यक असते, तेव्हा कोणीही हा उपाय सहजपणे मांडू शकतो आणि केला पाहिजे.

अनुपस्थिती सिद्ध करणे अधिक कठीण आहे: उदाहरणार्थ, कोणीतरी म्हणतो: अशा आणि अशा समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत. त्याला डबक्यात टाकायचे? सोपे: बाम - आणि हे आहे, समाधान! (उपाय द्या). आणि तेच, प्रतिस्पर्ध्याचा पराभव झाला. अनुपस्थिती कशी सिद्ध करावी?

म्हणायचे: "मला असे उपाय सापडले नाहीत"? किंवा कदाचित आपण चांगले शोधले नाही? जर ते फक्त खूप मोठे, चांगले, अगदी सुपर-शक्तिशाली कॉम्प्युटरमध्ये अद्याप पुरेसे सामर्थ्य नसेल तर? हेच अवघड आहे.

व्हिज्युअल फॉर्ममध्ये, हे खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते: जर आपण योग्य आकाराचे दोन चौरस घेतले आणि त्यांना युनिट स्क्वेअरमध्ये वेगळे केले, तर या युनिट स्क्वेअरच्या गुच्छातून तिसरा स्क्वेअर मिळेल (चित्र 2):

आणि तिसर्‍या परिमाण (Fig. 3) सह असेच करू - ते कार्य करत नाही. पुरेसे चौकोनी तुकडे नाहीत किंवा अतिरिक्त शिल्लक आहेत:

पण १७व्या शतकातील गणितज्ञ, पियरे डी फर्मॅट या फ्रेंच व्यक्तीने x या समीकरणाचा उत्साहाने अभ्यास केला. n+yn=zn . आणि, शेवटी, त्याने निष्कर्ष काढला: साठी n>2 पूर्णांक उपाय अस्तित्वात नाहीत. फर्मॅटचा पुरावा अपरिवर्तनीयपणे गमावला आहे. हस्तलिखितांना आग लागली आहे! बाकी फक्त डायओफँटसच्या अंकगणितातील त्यांची टिप्पणी आहे: "मला या प्रस्तावाचा खरोखर आश्चर्यकारक पुरावा सापडला आहे, परंतु येथे समास ते समाविष्ट करण्यासाठी खूपच अरुंद आहेत."

वास्तविक, पुराव्याशिवाय प्रमेयाला गृहीतक म्हणतात. परंतु फर्मॅटला कधीही चुकीचे नसण्याची प्रतिष्ठा आहे. जरी त्याने कोणत्याही विधानाचा पुरावा सोडला नसला तरी, नंतर पुष्टी केली गेली. याव्यतिरिक्त, फर्मॅटने n=4 साठी त्याचा प्रबंध सिद्ध केला. म्हणून फ्रेंच गणितज्ञांचे गृहितक इतिहासात फर्मॅटचे शेवटचे प्रमेय म्हणून खाली गेले.

फर्मेट नंतर, लिओनहार्ड यूलरसारख्या महान विचारांनी पुरावा शोधण्याचे काम केले (1770 मध्ये त्यांनी n = 3 साठी उपाय सुचविला),

एड्रियन लेजेंड्रे आणि जोहान डिरिचलेट (या शास्त्रज्ञांना 1825 मध्ये संयुक्तपणे n = 5 साठी पुरावा सापडला), गॅब्रिएल लेम (ज्यांना n = 7 साठी पुरावा सापडला) आणि इतर अनेक. गेल्या शतकाच्या 80 च्या दशकाच्या मध्यापर्यंत, हे स्पष्ट झाले की वैज्ञानिक जग फर्मेटच्या शेवटच्या प्रमेयच्या अंतिम निराकरणाच्या मार्गावर आहे, परंतु केवळ 1993 मध्ये गणितज्ञांनी पाहिले आणि विश्वास ठेवला की तीन शतकातील पुरावा शोधण्याची गाथा. फर्मॅटचे शेवटचे प्रमेय जवळजवळ संपले होते.

हे दाखवणे सोपे आहे की फर्मेटचे प्रमेय केवळ प्राइम n साठी सिद्ध करणे पुरेसे आहे: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … संयुक्त n साठी, पुरावा वैध राहतो. पण अमर्यादपणे अनेक मूळ संख्या आहेत...

1825 मध्ये, सोफी जर्मेनच्या पद्धतीचा वापर करून, महिला गणितज्ञ, डिरिचलेट आणि लेजेंड्रे यांनी स्वतंत्रपणे n=5 चे प्रमेय सिद्ध केले. 1839 मध्ये, फ्रेंच माणूस गॅब्रिएल लेम याने त्याच पद्धतीचा वापर करून n=7 च्या प्रमेयाचे सत्य दाखवले. हळूहळू, प्रमेय जवळजवळ सर्व n शंभर पेक्षा कमी सिद्ध झाले.

शेवटी, जर्मन गणितज्ञ अर्न्स्ट कुमर याने एका चमकदार अभ्यासात दाखवून दिले की 19व्या शतकातील गणिताच्या पद्धती सामान्य स्वरूपात प्रमेय सिद्ध करू शकत नाहीत. फर्मॅटच्या प्रमेयाच्या पुराव्यासाठी 1847 मध्ये स्थापन करण्यात आलेल्या फ्रेंच अकादमी ऑफ सायन्सेसचे पारितोषिक नियुक्त केले गेले नाही.

1907 मध्ये, धनाढ्य जर्मन उद्योगपती पॉल वुल्फस्केल यांनी अपरिचित प्रेमामुळे स्वतःचा जीव घेण्याचा निर्णय घेतला. खऱ्या जर्मनप्रमाणे, त्याने आत्महत्येची तारीख आणि वेळ सेट केली: अगदी मध्यरात्री. शेवटच्या दिवशी त्यांनी मृत्यूपत्र केले आणि मित्र आणि नातेवाईकांना पत्रे लिहिली. मध्यरात्रीपूर्वी व्यवसाय संपला. मला असे म्हणायचे आहे की पॉलला गणितात रस होता. काहीही न करता तो लायब्ररीत गेला आणि कुमरचा प्रसिद्ध लेख वाचू लागला. कुमरने आपल्या तर्कात चूक केली आहे असे अचानक त्याला वाटले. हातात पेन्सिल घेऊन वुल्फस्केलने लेखातील या उतार्‍याचे विश्लेषण करण्यास सुरुवात केली. मध्यरात्र झाली, सकाळ झाली. पुराव्यातील पोकळी भरून निघाली. आणि आत्महत्येचे कारण आता पूर्णपणे हास्यास्पद दिसत होते. पॉलने विदाईची पत्रे फाडून टाकली आणि इच्छापत्र पुन्हा लिहिले.

त्याचा लवकरच नैसर्गिक कारणाने मृत्यू झाला. वारसांना खूप आश्चर्य वाटले: 100,000 गुण (1,000,000 वर्तमान पाउंड स्टर्लिंगपेक्षा जास्त) गॉटिंगेनच्या रॉयल सायंटिफिक सोसायटीच्या खात्यात हस्तांतरित केले गेले, ज्याने त्याच वर्षी वुल्फस्केल पुरस्कारासाठी स्पर्धा जाहीर केली. 100,000 गुण हे फर्मॅटच्या प्रमेयाच्या प्रोव्हरवर अवलंबून आहेत. प्रमेयाचे खंडन करण्यासाठी पेफेनिगला पैसे दिले जाणार नव्हते ...

बर्‍याच व्यावसायिक गणितज्ञांनी फर्मॅटच्या शेवटच्या प्रमेयाचा पुरावा शोधणे हे हरवलेले कारण मानले आणि अशा निरर्थक व्यायामासाठी वेळ वाया घालवण्यास नकार दिला. पण शौकीन वैभवाचा आनंद लुटतात. घोषणेच्या काही आठवड्यांनंतर, "पुरावा" च्या हिमस्खलनाने गॉटिंगेन विद्यापीठाला धडक दिली. प्रोफेसर ई.एम. लांडौ, ज्यांचे कर्तव्य पाठवलेल्या पुराव्यांचे विश्लेषण करणे होते, त्यांनी त्यांच्या विद्यार्थ्यांना कार्ड वितरित केले:

प्रिय (चे). . . . . . . .

फर्मॅटच्या शेवटच्या प्रमेयाच्या पुराव्यासह तुम्ही पाठवलेल्या हस्तलिखिताबद्दल धन्यवाद. पहिली त्रुटी पृष्ठावर आहे ... ओळीवर ... . यामुळे, संपूर्ण पुरावा त्याची वैधता गमावतो.
प्रोफेसर ई.एम. लांडौ

1963 मध्ये, पॉल कोहेनने, गोडेलच्या निष्कर्षांवर चित्र काढत, हिल्बर्टच्या तेवीस समस्यांपैकी एक, सातत्य गृहीतकेची निराकरणक्षमता सिद्ध केली. फर्मॅटचे शेवटचे प्रमेय देखील न सोडवता येणारे असेल तर?! पण महान प्रमेयाचे खरे कट्टरपंथीय अजिबात निराश झाले नाहीत. संगणकाच्या आगमनाने अनपेक्षितपणे गणितज्ञांना पुराव्याची एक नवीन पद्धत दिली. द्वितीय विश्वयुद्धानंतर, प्रोग्रामर आणि गणितज्ञांच्या गटांनी n च्या सर्व मूल्यांसाठी 500 पर्यंत, नंतर 1,000 पर्यंत आणि नंतर 10,000 पर्यंत फर्मॅटचे अंतिम प्रमेय सिद्ध केले.

80 च्या दशकात, सॅम्युअल वॅगस्टाफने मर्यादा 25,000 पर्यंत वाढवली आणि 90 च्या दशकात, गणितज्ञांनी दावा केला की फर्मॅटची शेवटची प्रमेय 4 दशलक्ष पर्यंतच्या सर्व मूल्यांसाठी सत्य आहे. पण अनंतातून एक ट्रिलियन ट्रिलियन जरी वजा केले तरी ते लहान होत नाही. गणितज्ञांना आकडेवारी पटत नाही. महान प्रमेय सिद्ध करणे म्हणजे ते सर्वांसाठी सिद्ध करणे आणि अनंताकडे जाणे.

1954 मध्ये, दोन तरुण जपानी गणितज्ञ मित्रांनी मॉड्यूलर फॉर्मचा अभ्यास केला. हे फॉर्म संख्यांची मालिका तयार करतात, प्रत्येकाची - स्वतःची मालिका. योगायोगाने, तानियामाने या मालिकांची तुलना लंबवर्तुळाकार समीकरणांनी निर्माण केलेल्या मालिकेशी केली. ते जुळले! पण मॉड्युलर फॉर्म भौमितीय वस्तू आहेत, तर लंबवर्तुळाकार समीकरणे बीजगणितीय आहेत. अशा विविध वस्तूंमध्ये कधीही संबंध सापडला नाही.

तरीसुद्धा, काळजीपूर्वक चाचणी केल्यानंतर, मित्रांनी एक गृहितक मांडले: प्रत्येक लंबवर्तुळाकार समीकरणात जुळे असतात - एक मॉड्यूलर फॉर्म आणि त्याउलट. हीच गृहीतकं गणितातील संपूर्ण प्रवृत्तीचा पाया बनली, पण तानियामा-शिमुरा गृहितक सिद्ध होईपर्यंत संपूर्ण इमारत कोणत्याही क्षणी कोसळू शकते.

1984 मध्ये, गेर्हार्ड फ्रेने दाखवले की फर्मॅटच्या समीकरणाचे समाधान, ते अस्तित्वात असल्यास, काही लंबवर्तुळाकार समीकरणात समाविष्ट केले जाऊ शकते. दोन वर्षांनंतर, प्रोफेसर केन रिबेट यांनी हे सिद्ध केले की या काल्पनिक समीकरणाचा मॉड्यूलर जगामध्ये प्रतिरूप असू शकत नाही. यापुढे, फर्मेटचे शेवटचे प्रमेय तानियामा-शिमुरा अनुमानाशी अतूटपणे जोडलेले होते. कोणताही लंबवर्तुळाकार वक्र मॉड्यूलर आहे हे सिद्ध केल्यावर, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की फर्मॅटच्या समीकरणाचे निराकरण करणारे कोणतेही लंबवर्तुळ समीकरण नाही आणि फर्मॅटचे शेवटचे प्रमेय लगेच सिद्ध होईल. परंतु तीस वर्षे तानियामा-शिमुरा अनुमान सिद्ध करणे शक्य झाले नाही आणि यशाच्या कमी आणि कमी आशा होत्या.

1963 मध्ये, जेव्हा तो फक्त दहा वर्षांचा होता, तेव्हा अँड्र्यू वाइल्सला गणिताबद्दल आधीच आकर्षण होते. जेव्हा त्याला महान प्रमेयाबद्दल माहिती मिळाली तेव्हा त्याला समजले की तो त्यापासून विचलित होऊ शकत नाही. एक शाळकरी, विद्यार्थी, पदवीधर विद्यार्थी या नात्याने त्यांनी या कामासाठी स्वत:ला तयार केले.

केन रिबेटच्या निष्कर्षांबद्दल जाणून घेतल्यावर, वाइल्सने तानियामा-शिमुरा अनुमान सिद्ध करण्यासाठी स्वतःला झोकून दिले. त्याने पूर्ण एकांतात आणि गुप्ततेने काम करण्याचा निर्णय घेतला. "मला समजले की फर्मॅटच्या शेवटच्या प्रमेयाशी काही संबंध असलेली प्रत्येक गोष्ट खूप स्वारस्यपूर्ण आहे ... बरेच दर्शक ध्येय साध्य करण्यात मुद्दाम हस्तक्षेप करतात." सात वर्षांच्या मेहनतीचे फळ मिळाले, शेवटी वायल्सने तानियामा-शिमुरा अनुमानाचा पुरावा पूर्ण केला.

1993 मध्ये, इंग्लिश गणितज्ञ अँड्र्यू वाइल्स यांनी त्यांच्या फर्मॅटच्या शेवटच्या प्रमेयचा पुरावा जगासमोर सादर केला (केंब्रिजमधील सर आयझॅक न्यूटन इन्स्टिट्यूटमध्ये झालेल्या परिषदेत वाइल्सने त्यांचा खळबळजनक अहवाल वाचला.), ज्यावर काम सात वर्षांहून अधिक काळ चालले.

प्रेसमध्ये प्रचार सुरू असताना, पुराव्याची पडताळणी करण्याचे गंभीर काम सुरू झाले. पुरावा कठोर आणि अचूक मानला जाण्यापूर्वी प्रत्येक पुराव्याची काळजीपूर्वक तपासणी करणे आवश्यक आहे. वाइल्सने समीक्षकांच्या अभिप्रायाची वाट पाहत एक व्यस्त उन्हाळा घालवला, आशा आहे की तो त्यांची मान्यता जिंकू शकेल. ऑगस्टच्या अखेरीस, तज्ञांना एक अपुरा प्रमाणिक निर्णय आढळला.

असे दिसून आले की या निर्णयामध्ये एक गंभीर त्रुटी आहे, जरी सर्वसाधारणपणे ते खरे आहे. वाइल्सने हार मानली नाही, संख्या सिद्धांतातील सुप्रसिद्ध तज्ञ रिचर्ड टेलरची मदत घेतली आणि आधीच 1994 मध्ये त्यांनी प्रमेयाचा एक दुरुस्त आणि पूरक पुरावा प्रकाशित केला. सर्वात आश्चर्यकारक गोष्ट अशी आहे की या कार्याने अॅनल्स ऑफ मॅथेमॅटिक्स मॅथेमॅटिकल जर्नलमध्ये तब्बल 130 (!) पाने घेतली. परंतु कथा तिथेच संपली नाही - शेवटचा मुद्दा फक्त पुढील वर्षी, 1995 मध्ये बनविला गेला, जेव्हा गणिताच्या दृष्टिकोनातून अंतिम आणि “आदर्श”, पुराव्याची आवृत्ती प्रकाशित झाली.

"...तिच्या वाढदिवसानिमित्त सणासुदीचे जेवण सुरू झाल्यानंतर अर्ध्या मिनिटाने, मी नादियाला संपूर्ण पुराव्याचे हस्तलिखित दिले" (अँड्र्यू वेल्स). मी नमूद केले की गणितज्ञ विचित्र लोक आहेत?

यावेळी पुराव्याबाबत शंका नव्हती. दोन लेखांचे अत्यंत काळजीपूर्वक विश्लेषण केले गेले आणि मे 1995 मध्ये अॅनल्स ऑफ मॅथेमॅटिक्समध्ये प्रकाशित झाले.

त्या क्षणापासून बराच वेळ निघून गेला आहे, परंतु फर्मॅटच्या शेवटच्या प्रमेयच्या निराकरण करण्याबद्दल समाजात अजूनही एक मत आहे. परंतु ज्यांना सापडलेल्या पुराव्याबद्दल माहिती आहे ते देखील या दिशेने कार्य करत आहेत - काही लोक समाधानी आहेत की महान प्रमेयाला 130 पृष्ठांचे समाधान आवश्यक आहे!

म्हणूनच, आता बर्याच गणितज्ञांची शक्ती (बहुतेक हौशी, व्यावसायिक शास्त्रज्ञ नाही) साध्या आणि संक्षिप्त पुराव्याच्या शोधात फेकली गेली आहे, परंतु हा मार्ग, बहुधा, कोठेही नेणार नाही ...

लेव्ह व्हॅलेंटिनोविच रुडी, "पियरे फर्मेट आणि त्याचे "अप्रमाणित" प्रमेय" या लेखाचे लेखक, आधुनिक गणिताच्या 100 प्रतिभांपैकी एकाचे प्रकाशन वाचल्यानंतर, ज्याला फर्मॅटच्या प्रमेयाच्या निराकरणामुळे अलौकिक बुद्धिमत्ता म्हटले जाते, प्रकाशित करण्याची ऑफर दिली. या विषयावर त्याचे पर्यायी मत. ज्याला आम्ही तत्परतेने प्रतिसाद दिला आणि संक्षेपाशिवाय त्यांचा लेख प्रकाशित केला.

पियरे डी फर्मॅट आणि त्याचे "अप्रमाणित" प्रमेय

या वर्षी महान फ्रेंच गणितज्ञ पियरे डी फर्मॅट यांच्या जन्माची 410 वी जयंती आहे. शिक्षणतज्ज्ञ व्ही.एम. तिखोमिरोव पी. फर्मेट बद्दल लिहितात: “फक्त एका गणितज्ञाला सन्मानित करण्यात आले आहे की त्याचे नाव घरगुती नाव बनले आहे. जर ते "फर्मॅटिस्ट" म्हणतात, तर आपण एखाद्या अवास्तव कल्पनेने वेडेपणाच्या टप्प्यापर्यंत वेड लागलेल्या व्यक्तीबद्दल बोलत आहोत. परंतु या शब्दाचे श्रेय पियरे फर्मेट (१६०१-१६६५) यांना दिले जाऊ शकत नाही, जे स्वतः फ्रान्समधील सर्वात तेजस्वी मनांपैकी एक होते.

पी. फर्मॅट हा एक आश्चर्यकारक नशिबाचा माणूस आहे: जगातील महान गणितज्ञांपैकी एक, तो "व्यावसायिक" गणितज्ञ नव्हता. फर्मेट हे पेशाने वकील होते. त्यांनी उत्कृष्ट शिक्षण घेतले आणि ते कला आणि साहित्याचे उत्कृष्ट जाणकार होते. आयुष्यभर त्यांनी नागरी सेवेत काम केले, गेली 17 वर्षे ते टूलूसमधील संसदेचे सल्लागार होते. एका निरागस आणि उदात्त प्रेमाने त्याला गणिताकडे आकर्षित केले आणि या विज्ञानानेच त्याला सर्व काही दिले जे प्रेम एखाद्या व्यक्तीला देऊ शकते: सौंदर्य, आनंद आणि आनंदाचा नशा.

कागदपत्रे आणि पत्रव्यवहारात, फर्मेटने अनेक सुंदर विधाने तयार केली, ज्याबद्दल त्याने लिहिले की त्याच्याकडे त्यांचे पुरावे आहेत. आणि हळूहळू अशी अप्रमाणित विधाने कमी आणि कमी होती आणि शेवटी, फक्त एकच राहिले - त्याचे रहस्यमय ग्रेट प्रमेय!

तथापि, गणितामध्ये स्वारस्य असलेल्यांसाठी, फर्मॅटचे नाव त्याच्या ग्रँड प्रमेयकडे दुर्लक्ष करून खंड बोलतो. ते त्यांच्या काळातील सर्वात अंतर्ज्ञानी मनांपैकी एक होते, त्यांना संख्या सिद्धांताचे संस्थापक मानले जाते, त्यांनी विश्लेषणात्मक भूमिती, गणितीय विश्लेषणाच्या विकासासाठी खूप मोठे योगदान दिले. आमच्यासाठी सौंदर्य आणि रहस्यांनी भरलेले जग उघडल्याबद्दल आम्ही फर्मेटचे आभारी आहोत” (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).

विचित्र मात्र "कृतज्ञता"!? गणितीय जग आणि प्रबुद्ध मानवतेने Fermat च्या 410 व्या वर्धापन दिनाकडे दुर्लक्ष केले. सर्व काही, नेहमीप्रमाणे, शांत, शांत, रोजचे होते ... कोणतीही धूमधडाका, कौतुकास्पद भाषणे, टोस्ट्स नव्हते. जगातील सर्व गणितज्ञांपैकी फक्त फर्मॅटलाच इतका मोठा "सन्मान" दिला गेला आहे की जेव्हा "फर्मॅटिस्ट" हा शब्द वापरला जातो तेव्हा प्रत्येकाला समजते की आपण एका अर्धवट बुद्धीबद्दल बोलत आहोत ज्याला "अवास्तव कल्पनेने वेड लागले आहे" फर्मॅटच्या प्रमेयाचा हरवलेला पुरावा शोधा!

डायओफँटसच्या पुस्तकाच्या मार्जिनवरील टिप्पणीमध्ये, फर्मासने लिहिले: "मला माझ्या प्रतिपादनाचा खरोखर आश्चर्यकारक पुरावा सापडला आहे, परंतु पुस्तकाचा समास तो सामावून घेण्यासाठी खूपच अरुंद आहे." तर तो "17 व्या शतकातील गणिती प्रतिभाच्या कमकुवतपणाचा क्षण" होता. या मूर्खाला समजले नाही की तो “चुकून” होता, परंतु, बहुधा तो फक्त “खोटे”, “धूर्त” बोलला.

जर फर्मॅटने दावा केला असेल तर त्याच्याकडे पुरावे आहेत!? आधुनिक दहावीच्या विद्यार्थ्यापेक्षा ज्ञानाची पातळी जास्त नव्हती, परंतु जर एखाद्या अभियंत्याने हा पुरावा शोधण्याचा प्रयत्न केला तर त्याची खिल्ली उडवली जाते, वेडे घोषित केले जाते. आणि जर अमेरिकन 10 वर्षांचा मुलगा E. Wiles "Fermat ला त्याच्यापेक्षा जास्त गणित कळू शकत नाही असे प्रारंभिक गृहीतक म्हणून स्वीकारले आणि हे "सिद्ध न करता येणारे प्रमेय" "सिद्ध करणे" सुरू केले तर ही पूर्णपणे वेगळी बाब आहे. अर्थात, केवळ एक "प्रतिभा" अशा गोष्टीस सक्षम आहे.

योगायोगाने, मला एक साइट (works.tarefer.ru›50/100086/index.html) भेटली, जिथे चिता स्टेट टेक्निकल युनिव्हर्सिटीचा विद्यार्थी कुशेन्को व्ही.व्ही. Fermat बद्दल लिहितात: “... Beaumont चे छोटे शहर आणि तेथील सर्व पाच हजार रहिवाशांना हे समजू शकले नाही की महान Fermat येथे जन्माला आला, शेवटचा गणितज्ञ-किमयाशास्त्रज्ञ ज्याने येत्या शतकांतील निरर्थक समस्यांचे निराकरण केले, सर्वात शांत न्यायिक हुक. , धूर्त स्फिंक्स ज्याने मानवतेला त्याच्या कोड्यांसह छळले, एक सावध आणि सद्गुणी नोकरशहा, एक फसवणूक करणारा, एक कारस्थान करणारा, एक गृहस्थ, एक मत्सर करणारा, एक हुशार संकलक, गणिताच्या चार टायटन्सपैकी एक ... फार्मने जवळजवळ कधीही टूलूस सोडले नाही, जिथे तो संसदेच्या सल्लागाराची मुलगी लुईस डी लाँग हिच्याशी लग्न करून स्थायिक झाला. त्याच्या सासऱ्यांचे आभार मानून, तो सल्लागाराच्या पदापर्यंत पोहोचला आणि प्रतिष्ठित उपसर्ग "de" मिळवला. तिसऱ्या इस्टेटचा मुलगा, श्रीमंत लेदर कामगारांची व्यावहारिक संतती, लॅटिन आणि फ्रान्सिस्कन धार्मिकतेने भरलेली, त्याने वास्तविक जीवनात स्वतःला भव्य कार्ये सेट केली नाहीत ...

आपल्या अशांत वयात ते शांतपणे आणि शांतपणे जगले. त्याने डेकार्टेससारखे तात्विक ग्रंथ लिहिले नाहीत, व्हिएतप्रमाणे फ्रेंच राजांचे विश्वासू नव्हते, युद्ध केले नाही, प्रवास केला नाही, गणितीय मंडळे तयार केली नाहीत, त्याचे विद्यार्थी नव्हते आणि त्याच्या हयातीत प्रकाशित झाले नाही ... इतिहासातील स्थानासाठी कोणतेही जाणीवपूर्वक हक्क न मिळाल्याने, 12 जानेवारी 1665 रोजी फार्मचा मृत्यू झाला."

मला धक्का बसला, धक्का बसला... आणि पहिला "गणितज्ञ-किमयाशास्त्रज्ञ" कोण होता!? ही "येत्या शतकांची निष्क्रिय कार्ये" काय आहेत!? “एक नोकरशहा, एक फसवणूक करणारा, एक षड्यंत्र करणारा, एक गृहस्थ, एक मत्सर करणारा माणूस” ... या हिरव्या तरुण आणि तरुणांना त्यांच्या आधी 400 वर्षे जगलेल्या व्यक्तीबद्दल इतका तिरस्कार, तिरस्कार, निंदकपणा कुठून येतो!? कसली निंदा, घोर अन्याय!? पण, हे सर्व तरुण स्वत:च घेऊन आले नाहीत!? त्यांचा विचार गणितज्ञांनी केला होता, "विज्ञानाचे राजे", त्याच "मानवतेचा", ज्याला फर्मॅटच्या "धूर्त स्फिंक्स" ने "त्याच्या कोड्यांचा छळ केला".

तथापि, फर्मॅट गर्विष्ठ, परंतु तीनशे वर्षांहून अधिक काळ सामान्य वंशजांनी त्याच्या शाळेच्या प्रमेयावर आपले शिंग ठोठावले या वस्तुस्थितीची कोणतीही जबाबदारी सहन करू शकत नाही. अपमानित, फर्मेटवर थुंकणारे, गणितज्ञ आपली वर्दीची इज्जत वाचवण्याचा प्रयत्न करत आहेत!? पण बर्याच काळापासून "सन्मान" नाही, "गणवेश" देखील नाही!? फर्मॅटची मुलांची समस्या ही जगातील गणितज्ञांच्या "निवडक, शूर" सैन्याची सर्वात मोठी लाजिरवाणी बनली आहे!?

"विज्ञानाचे राजे" या वस्तुस्थितीमुळे बदनाम झाले की गणिताच्या "प्रकाशमान" च्या सात पिढ्या शालेय प्रमेय सिद्ध करू शकले नाहीत, जे पी. फर्मेट आणि अरब गणितज्ञ अल-खुजंडी यांनी 700 वर्षांपूर्वी सिद्ध केले होते!? त्यांच्या चुका मान्य करण्याऐवजी त्यांनी पी. फर्मेटचा फसवणूक करणारा म्हणून निषेध केला आणि त्यांच्या प्रमेयाच्या "अप्रमाणित" बद्दलची मिथक वाढवण्यास सुरुवात केली या वस्तुस्थितीमुळे त्यांची बदनामी झाली!? गणितज्ञांनी देखील स्वतःला बदनाम केले आहे की संपूर्ण शतकापासून ते हौशी गणितज्ञांचा उन्मादपणे छळ करत आहेत, "त्यांच्या लहान भावांना डोक्यावर मारत आहेत." पायथागोरसने हिप्पासस बुडवल्यानंतर वैज्ञानिक विचारांच्या संपूर्ण इतिहासात हा छळ गणितज्ञांसाठी सर्वात लज्जास्पद कृत्य ठरला! फर्मॅटच्या प्रमेयाच्या "पुराव्या" च्या नावाखाली, त्यांनी ई. वाइल्सची संदिग्ध "निर्मिती" प्रबुद्ध मानवतेला फसवली, जी गणितातील सर्वात तेजस्वी दिग्गजांना देखील "समजत नाही"!?

P. Fermat च्या जन्माची 410 वी जयंती निःसंशयपणे गणितज्ञांसाठी एक मजबूत युक्तिवाद आहे जे शेवटी त्यांच्या शुद्धीवर आले आणि कुंपणावर सावली टाकणे थांबवले आणि महान गणितज्ञांचे चांगले, प्रामाणिक नाव पुनर्संचयित केले. पी. फर्मेटला "इतिहासातील स्थानाबद्दल कोणतेही जाणीवपूर्वक दावे सापडले नाहीत," परंतु या मार्गस्थ आणि लहरी लेडीने स्वतः तिच्या हातात तिच्या इतिहासात प्रवेश केला, परंतु तिने च्युएड गम सारख्या अनेक उत्साही आणि आवेशी "अर्जदारांना" थुंकले. आणि याबद्दल काहीही केले जाऊ शकत नाही, फक्त त्याच्या अनेक सुंदर प्रमेयांपैकी एक प्रमेय इतिहासात P. Fermat चे नाव कायमचे प्रविष्ट केले.

परंतु फर्मॅटची ही अनोखी निर्मिती संपूर्ण शतकभर भूमिगत राहिली, बेकायदेशीर ठरली आणि गणिताच्या संपूर्ण इतिहासात हे सर्वात तिरस्करणीय आणि घृणास्पद कार्य बनले आहे. पण गणिताच्या या "कुरुप बदकाचे" सुंदर हंस बनण्याची वेळ आली आहे! Fermat च्या आश्चर्यकारक कोडे गणितीय ज्ञानाच्या खजिन्यात आणि जगातील प्रत्येक शाळेत, त्याच्या बहिणीच्या पुढे, पायथागोरियन प्रमेयामध्ये त्याचे योग्य स्थान घेण्याचा हक्क मिळवला आहे.

अशा अनोख्या, मोहक समस्येत फक्त सुंदर, मोहक उपाय असू शकत नाहीत. जर पायथागोरियन प्रमेयाला 400 पुरावे असतील, तर फर्मॅटच्या प्रमेयाला प्रथम फक्त 4 साधे पुरावे असू द्या. ते आहेत, हळुहळू त्यांच्यापैकी आणखी असतील!? माझा विश्वास आहे की पी. फर्मॅटची 410 वी जयंती हा व्यावसायिक गणितज्ञांना त्यांच्या शुद्धीवर येण्यासाठी आणि शेवटी हौशींचा हा मूर्खपणाचा, मूर्खपणाचा, त्रासदायक आणि पूर्णपणे निरुपयोगी "नाकाबंदी" थांबवण्याचा सर्वात योग्य प्रसंग किंवा प्रसंग आहे!?

- » मानवतेची कार्ये

मानवतेने न सोडवलेली गणिताची कार्ये

हिल्बर्ट समस्या

गणितातील 23 सर्वात महत्त्वाच्या समस्या महान जर्मन गणितज्ञ डेव्हिड हिल्बर्ट यांनी 1990 मध्ये पॅरिसमधील गणितज्ञांच्या दुसऱ्या आंतरराष्ट्रीय काँग्रेसमध्ये मांडल्या होत्या. मग या समस्या (गणित, बीजगणित, संख्या सिद्धांत, भूमिती, टोपोलॉजी, बीजगणित भूमिती, खोटे गट, वास्तविक आणि जटिल विश्लेषण, भिन्न समीकरणे, गणितीय भौतिकशास्त्र, भिन्नतेचे कॅल्क्युलस आणि संभाव्यता सिद्धांत) सोडवल्या गेल्या नाहीत. आतापर्यंत 16 23 पैकी समस्या सोडवल्या गेल्या आहेत. आणखी 2 बरोबर गणितीय समस्या नाहीत (एक सोडवला आहे की नाही हे समजण्यासाठी खूप अस्पष्टपणे तयार केले आहे, दुसरी, सोडवणे दूर आहे, भौतिक आहे, गणितीय नाही) उर्वरित 5 समस्यांपैकी, दोन कोणत्याही प्रकारे सोडवले जात नाहीत आणि तीन फक्त काही प्रकरणांसाठी सोडवले जातात

Landau समस्या

आत्तापर्यंत, अविभाज्य संख्यांशी संबंधित अनेक खुले प्रश्न आहेत (मूळ संख्या ही अशी संख्या आहे ज्याचे फक्त दोन भाग आहेत: एक आणि स्वतः संख्या). सर्वात महत्वाचे प्रश्न सूचीबद्ध केले होते एडमंड लँडाऊपाचव्या आंतरराष्ट्रीय गणितीय काँग्रेसमध्ये:

लांडौची पहिली समस्या (गोल्डबॅकची समस्या): दोन पेक्षा मोठी प्रत्येक सम संख्या दोन अविभाज्यांची बेरीज म्हणून दर्शविली जाऊ शकते आणि 5 पेक्षा मोठी प्रत्येक विषम संख्या तीन अविभाज्यांची बेरीज म्हणून दर्शविली जाऊ शकते हे खरे आहे का?

लांडौची दुसरी समस्या: संच अनंत आहे का? "साधे जुळे"- अविभाज्य संख्या, ज्यामधील फरक 2 च्या बरोबरीचा आहे?
लांडौची तिसरी समस्या(आख्यायिकेचे अनुमान): कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी n आणि मधली नेहमीच मूळ संख्या असते हे खरे आहे का?
लांडौची चौथी समस्या: फॉर्मच्या मूळ संख्यांचा संच, जिथे n ही नैसर्गिक संख्या आहे, अनंत आहे?

मिलेनियम लक्ष्य (मिलेनियम पुरस्कार समस्या

या सात गणिताच्या समस्या आहेत, hआणि प्रत्येक समाधानासाठी क्ले इन्स्टिट्यूटने 1,000,000 यूएस डॉलर्सचे बक्षीस देऊ केले. या सात समस्या गणितज्ञांच्या ध्यानात आणून, क्ले इन्स्टिट्यूटने त्यांची तुलना डी. हिल्बर्टच्या 23 समस्यांशी केली, ज्यांचा विसाव्या शतकातील गणितावर मोठा प्रभाव होता. हिल्बर्टच्या 23 समस्यांपैकी, बहुतेक आधीच सोडवल्या गेल्या आहेत, आणि फक्त एक, रीमन गृहीतक, सहस्राब्दी समस्यांच्या यादीमध्ये समाविष्ट केले गेले आहे. डिसेंबर २०१२ पर्यंत, सात सहस्राब्दी समस्यांपैकी फक्त एकच (पॉइनकारे गृहितक) सोडवली गेली आहे. तिच्या समाधानासाठी बक्षीस रशियन गणितज्ञ ग्रिगोरी पेरेलमन यांना देण्यात आले, ज्यांनी ते नाकारले.

या सात कामांची यादी येथे आहे:

क्रमांक १. पी आणि एनपी वर्गांची समानता

जर एखाद्या प्रश्नाचे सकारात्मक उत्तर शक्य असेल जलदया प्रश्नाचे उत्तर स्वतःच (प्रमाणपत्रासह) खरे आहे की नाही हे तपासा (प्रमाणपत्र नावाची काही आधारभूत माहिती वापरून) जलदशोधण्यासाठी? पहिल्या प्रकारच्या समस्या NP वर्गाच्या आहेत आणि दुसऱ्या प्रकारच्या P वर्गाच्या आहेत. या वर्गांच्या समानतेची समस्या ही अल्गोरिदमच्या सिद्धांतातील सर्वात महत्त्वाची समस्या आहे.

क्रमांक 2. हॉज गृहीतक

बीजगणितीय भूमितीतील महत्त्वाची समस्या. अनुमान बीजगणितीय उपप्रकारांद्वारे जाणवलेल्या जटिल प्रोजेक्टिव्ह वाणांवर कोहोमोलॉजी वर्गांचे वर्णन करते.

क्रमांक 3. पॉइनकारे गृहीतक (जी.या. पेरेलमन यांनी सिद्ध केलेले)

ही सर्वात प्रसिद्ध टोपोलॉजी समस्या मानली जाते. अधिक सोप्या भाषेत, ते असे सांगते की कोणतीही 3D "ऑब्जेक्ट" ज्यामध्ये त्रि-आयामी गोलाचे काही गुणधर्म आहेत (उदाहरणार्थ, त्यातील प्रत्येक लूप आकुंचनशील असणे आवश्यक आहे) विकृतीपर्यंतचा गोल असणे आवश्यक आहे. पोंकारे अनुमान सिद्ध करण्यासाठी पुरस्कार रशियन गणितज्ञ G.Ya यांना देण्यात आला.

क्रमांक 4. रिमन गृहीतक

अनुमान असे सांगते की सर्व गैर-क्षुल्लक (म्हणजे शून्य नसलेले काल्पनिक भाग असलेले) रीमन झेटा फंक्शनच्या शून्यांमध्ये 1/2 चा वास्तविक भाग असतो. हिल्बर्टच्या समस्यांच्या यादीत रिमन गृहीतक आठव्या क्रमांकावर होते.

क्र. 5. यांग-मिल्स सिद्धांत

प्राथमिक कण भौतिकशास्त्र क्षेत्रातील एक कार्य. हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे की कोणत्याही साध्या कॉम्पॅक्ट गेज गट G साठी चार-आयामी जागेसाठी क्वांटम यांग-मिल्स सिद्धांत अस्तित्वात आहे आणि त्यात शून्य वस्तुमान दोष आहे. हे विधान प्रायोगिक डेटा आणि संख्यात्मक सिम्युलेशनशी सुसंगत आहे, परंतु ते अद्याप सिद्ध झालेले नाही.