La legge di Bernoulliè una conseguenza della legge di conservazione dell'energia per un flusso stazionario di un fluido incomprimibile ideale (cioè senza attrito interno):
Densità del liquido,
Portata,
L'altezza alla quale si trova l'elemento fluido in questione,
La pressione nel punto dello spazio in cui si trova il centro di massa dell'elemento fluido in questione,
Accelerazione della gravità.
Di solito viene chiamata la costante sul lato destro pressione, o pressione totale, così come Integrale di Bernoulli. La dimensione di tutti i termini è l'unità di energia per unità di volume di liquido.
Questa relazione, derivata da Daniel Bernoulli nel 1738, prese il suo nome Equazione di Bernoulli. (Da non confondere con l'equazione differenziale di Bernoulli.)
Per tubo orizzontale H= 0 e l’equazione di Bernoulli assume la forma: 
.
Questa forma dell'equazione di Bernoulli può essere ottenuta integrando l'equazione di Eulero per un flusso di fluido unidimensionale stazionario, con densità costante ρ: 
.
Secondo la legge di Bernoulli, la pressione totale in un flusso di fluido stazionario rimane costante lungo il flusso.
Piena pressioneè costituito da idrostatico (ρ gh), atmosferica (p) e pressione dinamica.
Dalla legge di Bernoulli segue che al diminuire della sezione del flusso, a causa dell'aumento della velocità, cioè della pressione dinamica, diminuisce la pressione statica. Questa è la ragione principale dell’effetto Magnus. La legge di Bernoulli è valida anche per flussi di gas laminari. Il fenomeno della diminuzione della pressione con l'aumento della portata è alla base del funzionamento di vari tipi di flussometri (ad esempio un tubo Venturi), pompe ad acqua e a getto di vapore.
La legge di Bernoulli è valida nella sua forma pura solo per liquidi la cui viscosità è zero, cioè liquidi che non aderiscono alla superficie del tubo. È stato infatti sperimentalmente stabilito che la velocità di un liquido sulla superficie di un solido è quasi sempre esattamente nulla (tranne nel caso di separazione a getto in alcune rare condizioni).
La legge di Bernoulli può essere applicata al flusso di un fluido incomprimibile ideale attraverso un piccolo foro nella parete laterale o nel fondo di un ampio recipiente.
Secondo la legge di Bernoulli uguagliamo le pressioni totali sulla superficie superiore del liquido e all'uscita del foro:
,
P 0 - pressione atmosferica,
H- altezza della colonna di liquido nel recipiente,
v- portata del fluido.
Da qui: . Questa è la formula di Torricelli. Si dimostra che quando un fluido ideale incomprimibile esce da un foro in un vaso largo, il fluido acquista la velocità che otterrebbe un corpo in caduta libera da un'altezza H.
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Equazione di Bernoulli (integrale di Bernoulli)
Equazione di Bernoulli(Integrale di Bernoulli) in idroaeromeccanica [[dal nome dello scienziato svizzero D. Bernoulli], una delle equazioni fondamentali dell'idromeccanica, che, durante il movimento stazionario di un fluido ideale incomprimibile in un campo di gravità uniforme, ha la forma:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
dove v è la velocità del liquido, ρ è la sua densità, p è la pressione al suo interno, h è l'altezza della particella liquida sopra un determinato piano orizzontale, g è l'accelerazione della caduta libera, C è un valore costante su ciascuno streamline, ma in generale cambia il suo valore quando si passa da uno streamline all'altro.
La somma dei primi due termini sul lato sinistro dell'equazione (1) è uguale al potenziale totale, e il terzo termine è uguale all'energia cinetica, riferita alle unità. massa liquida; Di conseguenza l'intera equazione esprime la legge di conservazione dell'energia meccanica per un fluido in movimento e stabilisce un'importante relazione tra v, p e h. Ad esempio, se, a h costante, la velocità del flusso lungo una linea di flusso aumenta, allora la pressione diminuisce e viceversa. Questa legge viene utilizzata quando si misura la velocità utilizzando tubi di misurazione e altre misurazioni aerodinamiche.
Anche l'equazione di Bernoulli è rappresentata nella forma
h + p/γ + v 2 /2g = C or
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(dove γ =ρg è il peso specifico del liquido). Nella prima uguaglianza, tutti i termini hanno la dimensione della lunghezza e sono chiamati le corrispondenti altezze geometriche (livellamento), piezometriche e di velocità, e nella 2a - le dimensioni della pressione e sono rispettivamente chiamati peso, pressione statica e dinamica.
Nel caso generale, quando il fluido è comprimibile (gas), ma barotropico, cioè p dipende solo da ρ, e quando il suo movimento avviene in un campo di forze volumetriche (di massa) tranne che potenziale (vedi Campo di forze), la formula di Bernoulli l’equazione si ottiene come conseguenza delle equazioni di Eulero della meccanica dei fluidi ed ha la forma:
Ï+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
dove P è l'energia potenziale (potenziale) del campo di forze volumetrico, riferita alle unità. massa di liquido. Quando i gas scorrono, il valore di P cambia poco lungo la linea di corrente, e può essere incluso nella costante, presentandosi (3) nella forma:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)
Nelle applicazioni tecniche, per il flusso medio sulla sezione trasversale di un canale, il cosiddetto Equazione di Bernoulli generalizzata: preservando la forma delle equazioni (1) e (3), il lato sinistro comprende il lavoro delle forze di attrito e il superamento della resistenza idraulica, nonché il lavoro meccanico di un liquido o gas (il lavoro di un compressore o di turbine ) con il segno corrispondente. L'equazione di Bernoulli generalizzata è ampiamente utilizzata in idraulica per calcolare il flusso di liquidi e gas nelle tubazioni e in ingegneria meccanica per calcolare compressori, turbine, pompe e altre macchine idrauliche e a gas.
Integrale di Bernoulli.
Diamo all'equazione della quantità di moto una forma diversa. Per fare ciò, utilizzeremo la nota formula di analisi vettoriale
inserendocelo. Pertanto, l’uguaglianza è vera
Tuttavia, l'equazione della quantità di moto assumerà la forma dell'equazione di Gromeka-Lamb
(2.79)
Come vedremo in seguito, questa forma dell'equazione è estremamente conveniente per analizzare il flusso di un fluido ideale.
Consideriamo innanzitutto il caso di un flusso stazionario, ovvero poniamo e moltiplichiamo scalarmente la (2.48) per il vettore . Allora otteniamo
(2.80)
Poiché le forze di massa hanno potenziale P, allora
Allo stesso tempo, supponiamo che ci sia una funzione di pressione
I flussi in cui la densità dipende solo dalla pressione sono detti barotropici. Il gradiente della funzione è uguale a
può essere considerato come un vettore dell'azione volumetrica delle forze superficiali e la funzione stessa come potenziale di azione volumetrica delle forze superficiali.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, (2.80) dà
Viene chiamato l'importo tra parentesi Trinomio di Bernoulli e indicato come IN: 
.
COSÌ, 
, dove si intende la derivata presa lungo la linea di flusso. Ne consegue che B=cost O
(2.83)
Ricordiamo che questa relazione vale lungo la linea di flusso. Quando ci si sposta da una linea di corrente all'altra, la costante, in linea di principio, può cambiare. L'uguaglianza (2.83) sarà valida sull'intera regione di flusso se , il che è possibile per o per .
Viene chiamata l'uguaglianza (2.83). Integrale di Bernoulli. Viene spesso chiamata anche la relazione (2.83). Il teorema di Bernoulli (equazione).
Nella meccanica dei fluidi (e soprattutto nell'idraulica), il caso più comune è l'integrale di Bernoulli per un fluido incomprimibile. Mettiamo ρ=cost. Poi 
. Assumeremo che il liquido sia solo sotto l'influenza della gravità, cioè 
, Dove sì– asse diretto verticalmente verso l'alto. Pertanto il teorema di Bernoulli assume la forma seguente:
(2.84)
Se dividiamo tutti i termini per l'accelerazione di gravità G e denotare la costante con N*, allora possiamo scrivere
, (2.85)
dov'è il peso specifico; N*– altezza idraulica
e dare al teorema di Bernoulli la formulazione classica:
per il movimento stazionario di un fluido incomprimibile ideale pesante, l'altezza idraulica N*, pari alla somma di velocità, piezometrico e livellamento A altezze, rimane costante lungo qualsiasi linea di flusso (o linea di vortice).
Trascurando la gravità, il teorema di Bernoulli può avere una forma più semplice:
(2.86)
Il primo termine a sinistra è chiamato pressione piezometrica o pressione statica, il secondo è chiamato pressione dinamica o pressione dinamica. Il lato destro rappresenta la prevalenza totale o pressione di stagnazione.
Consideriamo ora il flusso adiabatico dell'acqua nell'ambito di un fluido ideale senza peso. In accordo con l'equazione di Tate avremo
Tuttavia, il teorema di Bernoulli per l'acqua comprimibile sarà simile a questo:
(2.87)
Supponiamo che il fluido acquisisca parametri nel punto in cui la velocità diventa zero. Se in realtà non esiste un punto del genere, allora si può immaginare il movimento immaginario di un fluido comprimibile ideale, rallentandolo adiabaticamente. Le quantità in questo caso sono chiamate rispettivamente pressione e densità di stagnazione. Sotto questa ipotesi, l'equazione (2.87) assume la forma
(2.88)
Integrale di Bernoulli. - concetto e tipologie. Classificazione e caratteristiche della categoria "Bernoulli Integrale". 2017, 2018.
1.4. Equazioni dell'energia
Equazione e integrale di Bernoulli. La risoluzione delle equazioni di Eulero (1.76) porta a una delle equazioni più importanti dell'idrodinamica: l'equazione di Bernoulli. Moltiplichiamo la prima delle equazioni di Eulero (1.76) per dx, il secondo - su dy, terzo in poi dz, quindi aggiungerli termine per termine. Di conseguenza otteniamo
Integriamo la (1.108) lungo il flusso elementare sotto le seguenti ipotesi:
Consideriamo le singole somme incluse nella (1.108).
Considerando che 
,
,
, rappresentiamo la somma sul lato sinistro del modulo
,
(1.109)
Dove tu velocità massima effettiva in un dato punto.
Sulla base della seconda e della terza ipotesi, saranno le proiezioni delle accelerazioni delle forze di massa sugli assi delle coordinate X= Y= 0, Z=- G. Quindi assume la forma la prima somma a destra di (1.108).
Xdx+ Sì+ Zdz=- gdz . (1.110)
A causa del primo presupposto, tutti i parametri di flusso, compresa la pressione, non dipendono dal tempo e sono funzioni solo di coordinate, cioè P = P(X, sì, z). Di conseguenza, l'espressione tra parentesi per il secondo termine a destra della (1.108) è il differenziale di pressione totale, cioè
.
(1.111)
Sostituendo (1.109), (1.110), (1.111) nella (1.108) e raccogliendo tutti i termini a membro sinistro, otteniamo
.
(1.112)
L'espressione (1.112) è chiamata equazione differenziale di Bernoulli.
L'unità di misura dei termini dell'equazione (1.112) è J/kg.
L'equazione di Bernoulli può essere rappresentata in altre forme moltiplicando tutti i suoi termini per ρ ,
(1.113)
o dividendo per G
.
(1.114)
In questo caso, le unità di misura di tutti i termini dell'equazione (1.113) sono Pa e (1.114) sono m.
Avendo integrato le equazioni (1.112) - (1.114), otteniamo le espressioni
;
(1.115)
;
(1.116)
.
(1.117)
Le equazioni (1.115)-(1.117) sono chiamate integrali di Bernoulli.
Significato energetico dell'integrale di Bernoulli. Prendendo ρ = const, come risultato dell'integrazione dell'equazione (1.112) otteniamo
cost. (1.118)
L'unità di misura di tutti i termini dell'equazione (1.118), nonché della (1.112) è J/kg.
Una particella di liquido in movimento ha una fornitura molto definita di energia meccanica. Se un corpo assolutamente solido ha una riserva di energia potenziale di posizione nel campo di gravità ed energia cinetica, anche una particella liquida, in quanto corpo elastico, ha una riserva di energia potenziale di stato. Questa energia è tanto maggiore quanto maggiore è il volume del liquido e maggiore è la pressione e si manifesta nel fatto che, ad esempio, il pompaggio di liquido in un recipiente può portare alla distruzione del recipiente e il gas compresso può compiere lavoro durante l'espansione .
Pertanto, l'energia meccanica totale di una particella liquida E può essere definita come la somma E = P P +P Con +K, Dove P n energia potenziale della posizione nel campo di gravità; P c è l'energia potenziale dello stato; A- energia cinetica.
L'energia potenziale di una posizione può essere calcolata utilizzando la formula della meccanica generale P P = mgz, Dove M massa della particella liquida, kg; z l'altezza della sua posizione rispetto al piano di riferimento orizzontale, m.
Consideriamo l'energia specifica per unità di massa di liquido. L'energia potenziale specifica della posizione è 
e nell'integrale di Bernoulli (1.118) è rappresentato dal primo termine.
L'energia potenziale dello stato è calcolata dalla formula P c = PV, Dove P pressione, Pa; V volume delle particelle liquide, m3.
Energia potenziale specifica di stato 
nell'integrale di Bernoulli (1.118) è rappresentato dal secondo termine.
Energia cinetica di una particella liquida 
.
Energia cinetica specifica 
nell'integrale di Bernoulli (1.118) è rappresentato dal terzo termine.
L'energia meccanica totale di una particella liquida è quindi determinata dalla somma 
, e l'energia meccanica specifica sarà
.
(1.119)
Confrontando la (1.118) e la (1.119), si arriva al significato energetico dell'integrale di Bernoulli: l'energia meccanica specifica di un fluido incomprimibile ideale rimane costante lungo il flusso elementare. Pertanto, l'integrale di Bernoulli esprime la legge di conservazione dell'energia meccanica per un flusso elementare, cioè è un'equazione dell'energia.
Dall'integrale di Bernoulli segue anche che le singole componenti dell'energia meccanica specifica possono cambiare, ma allo stesso tempo si verifica una trasformazione di un tipo di energia in un altro, cioè la diminuzione di un termine deve necessariamente essere accompagnata da un aumento in almeno uno degli altri due e viceversa.
La somma dei termini dell'integrale di Bernoulli (1.115) dà la quantità totale di energia posseduta da un'unità di massa ( e), (1.116) – unità di volume ( P), (1.117) – unità di gravità relativa al piano di confronto accettato ( H).
Membri 
,
,
esprimere energia cinetica, somme 
,
,
- energia potenziale, dove gz,
ρgz,
z energia potenziale di posizione, e 
,
,
energia potenziale di stato, rispettivamente unità di massa, volume, unità di gravità. Possiamo anche dire che le equazioni (1.116) e (1.117) esprimono la stessa cosa dell'equazione (1.99), ma su una scala 
E 
rispettivamente.
L'equazione (1.115) è conveniente da utilizzare quando si studia il movimento del gas con densità variabile, ad esempio nelle reti pneumatiche e nei compressori.
Se le variazioni di pressione durante il movimento del gas sono insignificanti 
e la temperatura è costante, allora possiamo supporre ρ
= cost. In queste condizioni è conveniente utilizzare l’equazione (1.116), che assumerà la forma:
cost. (1.120)
L'espressione (1.120) è utile da utilizzare quando si studia il movimento dell'aria nelle reti di ventilazione e nei ventilatori.
Quando si sposta una goccia di liquido (acqua, olio, ecc.), la cui densità è costante, è più conveniente utilizzare l'equazione (1.117), che per ρ = const assumerà la forma
cost. (1.121)
L'equazione (1.121) viene utilizzata nei calcoli delle condutture dell'acqua, delle condutture idrauliche e delle pompe.
Viene spesso utilizzata una diversa rappresentazione dell'equazione (1.117). Indicando con l'indice 1 i parametri di flusso nella prima sezione del flusso nella direzione del movimento del fluido, e con l'indice 2 - successivamente, possiamo scrivere
.
(1.122)
Significato geometrico dell'equazione di Bernoulli. Tutti i termini dell'equazione (1.122) hanno la dimensione della lunghezza, quindi possiamo parlare del significato geometrico dell'equazione di Bernoulli: z altezza geometrica (geodetica, livellamento); 
- altezza piezometrica; 
- velocità (dinamica) altitudine; 
altezza della perdita di energia (pressione).
Ecco altri nomi: z- pressione geometrica; 
- pressione piezometrica; 
- pressione di velocità; 
perdita di pressione; 
- piena pressione.
Consideriamo il flusso del fluido nel canale, misurando tutti i termini dell'equazione di Bernoulli (1.122) in varie sezioni (Fig. 1.30, le misurazioni sono mostrate solo per due sezioni 1-1 E 2-2 ). Prendiamo un piano orizzontale arbitrario come piano di riferimento 0-0 .
G
Riso. 1.30. Interpretazione geometrica dell'equazione di Bernoulli
sono definiti come l'altezza di risalita del liquido nei piezometri, misurata verticalmente dai baricentri delle sezioni corrispondenti. Quote di velocità 
sono definite le differenze di livello dei liquidi nei tubi di Pitot e nei piezometri posti nelle sezioni corrispondenti (si tenga presente che per una misurazione accurata del valore 
Il tubo di Pitot deve essere posizionato in un punto della sezione trasversale in cui si verifica la velocità locale tu pari alla velocità media v, cosa che non sempre è possibile fare, perché raramente si conosce la posizione di questo punto).
Altezza della perdita di energia 
in un'area delimitata da sezioni 1-1
E 2-2
, sarà determinata come la differenza dei livelli dei liquidi nei tubi di Pitot posti in queste sezioni.
Se si eseguono misure simili per molti tratti intermedi e i menischi superiori del liquido nei tubi di Pitot sono collegati da una linea liscia, allora si ottiene una linea UN(vedi Fig. 1.30), che si chiama linea di pressione completa.
Collegando con una linea liscia i menischi superiori del liquido nei piezometri, si ottiene una linea B(vedi Fig. 1.30), che si chiama linea piezometrica.
Si chiama la linea che collega i baricentri delle sezioni asse del flusso.
Il comportamento di queste linee lungo la lunghezza del flusso l determinato dalle cosiddette pendenze.
Inclinazione idraulica nominare la quantità
,
(1.123)
determinare il comportamento della linea di pressione totale.
Pendenza piezometrica
,
(1.124)
determina il comportamento della linea piezometrica.
Pendenza geometrica (geodetica).
,
(1.125)
caratterizza il comportamento dell'asse del flusso.
Nei calcoli pratici vengono più spesso utilizzati valori medi di pendenza, calcolati come rapporto tra le differenze tra i corrispondenti valori di inizio e fine e la lunghezza del flusso.
Poiché lungo il flusso la sua energia totale diminuisce continuamente a causa delle perdite, la linea della pressione totale diminuisce sempre. La pendenza idraulica (1.124) rimane sempre positiva.
La linea piezometrica può diminuire o aumentare. Il suo comportamento dipende sia dalla perdita di pressione che dalla natura della variazione di energia cinetica. Man mano che il canale si espande, la velocità del flusso e la prevalenza diminuiscono. Se la velocità di diminuzione della pressione cinetica è maggiore della velocità di diminuzione della pressione totale, la linea piezometrica aumenterà.
Diagrammi di pressione. In numerosi problemi idraulici è consigliabile fornire una rappresentazione grafica dell'equazione di Bernoulli per un particolare canale. Tali grafici sono chiamati diagrammi di pressione. Permettono di analizzare molto chiaramente il comportamento di ciascun termine dell'equazione di Bernoulli quando un fluido scorre attraverso un canale. Con il loro aiuto è conveniente anche eseguire alcuni calcoli numerici. Tipicamente i diagrammi vengono costruiti sulla base dei risultati di calcoli specifici, riportando i valori di pressione su una scala per ciascuna sezione. Consideriamo il principio di costruzione di un diagramma.
Riso. 1.31. Diagramma della pressione
Lasciare fluire il liquido da un grande recipiente aperto nell'atmosfera attraverso un tubo di sezione trasversale variabile (Fig. 1.31). Scegliamo un piano orizzontale arbitrario 0-0 come piano di riferimento. Iniziamo a costruire il diagramma con la linea della pressione totale.Per fare ciò determiniamo la pressione totale nella sezione coincidente con la superficie libera del liquido nel recipiente. Accettiamo di utilizzare le pressioni in eccesso nell'equazione di Bernoulli e durante la loro costruzione. Poi sulla superficie libera 
.
Poiché l'area della nave supera significativamente l'area della sezione trasversale del tubo, secondo l'equazione del flusso, la velocità del fluido nella nave sarà molto piccola rispetto alla velocità nel tubo e quindi , la pressione di velocità può essere trascurata 
.
Pertanto la pressione totale è determinata esclusivamente dalla pressione geometrica (nel diagramma è contrassegnata da un punto UN). Stimeremo la pressione totale nelle sezioni successive come la differenza tra la pressione totale nella sezione precedente e la perdita di pressione nell'area tra queste sezioni
.
(1.126)
Guardando al futuro, notiamo che esistono due tipi di perdite di pressione: perdite per attrito causate dalla viscosità del fluido e perdite locali causate da un brusco cambiamento nella configurazione del flusso, che, a differenza delle perdite per attrito (corsa), sono considerato concentrato in una sezione del flusso. Maggiore è la lunghezza del canale e la velocità del flusso, e minore è la sezione trasversale (diametro) del canale, maggiori saranno le perdite per attrito.
Nella sezione 1-1, immediatamente dopo l'ingresso del flusso dal recipiente nel tubo, la pressione totale sarà inferiore alla pressione nel recipiente per l'importo delle perdite di ingresso locali. Sottraendo alla pressione totale nel vaso (punto UN) perdita di ingresso H 1, otteniamo un punto B, che determina la pressione totale nella sezione 1-1.
Nella sezione del tubo compresa tra le sezioni 1-1 e 2-2 si verificheranno perdite di pressione dovute all'attrito. Poiché il tubo in questa sezione ha una sezione trasversale costante, ovunque per unità di lunghezza ci sono perdite uguali, ovvero il grafico della pressione totale sarà lineare. Sottraendo dalla prevalenza totale nella sezione 1-1 l'entità della perdita di pressione dovuta all'attrito nella sezione H 2, otteniamo la pressione totale nella sezione 2-2 (punto Con). Collegare i punti B E Con in linea retta, otteniamo un grafico della pressione totale per la prima sezione del tubo.
Per analogia con l'ingresso del tubo, sottrarre alla pressione totale nella sezione 2-2 (punto Con) perdite locali dovute all'improvvisa espansione del flusso H 3, otteniamo la piena pressione nella sezione 3-3 dietro l'improvvisa espansione (punto D), sottraendo da cui le perdite per attrito nella seconda sezione del tubo H 4, si ottiene la pressione totale nella sezione di uscita 4-4 (punto e).
Quando si uniscono i punti D E eè necessario tenere conto che le perdite per attrito per unità di lunghezza (pendenza idraulica) all'inizio della sezione (grandi diametri) saranno inferiori che alla fine (piccoli diametri). Di conseguenza, la linea della pressione totale sarà diretta convessa verso l'alto. Quindi, abbiamo una linea di piena pressione abcde.
Passiamo ora alla costruzione di una linea piezometrica. A questo scopo sottraiamo la pressione cinetica dalla pressione totale in ciascuna sezione
.
(1.127)
Sulla superficie libera del liquido nel recipiente, la pressione cinetica è zero e la pressione piezometrica coincide con la pressione totale (punto UN).
Nel tratto compreso tra le sezioni 1-1 e 2-2, la sezione trasversale del tubo, la velocità e la pressione cinetica rimangono costanti e la linea piezometrica ( 
) sarà parallelo alla linea della pressione totale.
Quando si passa dalla sezione 2-2 alla sezione 3-3, si verifica un forte aumento della sezione trasversale, accompagnato da una diminuzione della velocità e della pressione della velocità. Pertanto, la pressione piezometrica nella sezione 3-3 viene determinata sottraendo un valore molto più piccolo dalla pressione totale (segmento 
) che per la sezione 2-2 (segmento 
).
Nella seconda sezione del tubo, la sezione trasversale diminuisce gradualmente, il che porta ad un graduale aumento della velocità e della pressione cinetica. Di conseguenza, in ogni sezione successiva, è necessario sottrarre alla pressione totale un valore sempre maggiore. Pertanto la linea piezometrica si allontana continuamente dalla linea della pressione totale. La linea piezometrica termina nel punto 
, coincidente con il baricentro della sezione di uscita 4-4. Ciò si spiega con il fatto che nella sezione di uscita agiscono nuovamente la pressione atmosferica e la pressione piezometrica 
in termini di sovrappressione è pari a zero. La pressione totale è composta da geometria e velocità.
Analogamente alla costruzione di un diagramma di pressione sulla base di un dato profilo di flusso, è anche possibile risolvere il problema inverso: costruire una configurazione di tubazione sulla base di dati diagrammi di pressione.
Esempi di utilizzo pratico dell'equazione di Bernoulli. L'equazione di Bernoulli permette di ottenere formule di calcolo per vari casi di moto dei fluidi e di risolvere numerosi problemi pratici. Va tenuto presente che è valido solo per flussi stazionari con tratti abitativi pianeggianti.
Per l'uso pratico dell'equazione di Bernoulli nella risoluzione di vari problemi, vengono disegnate due sezioni e un piano orizzontale: il piano di confronto. Quest'ultima, per avere meno incognite, viene effettuata attraverso il baricentro di una o, se possibile, due sezioni, e poi z 1 o z 2 (o entrambi) saranno zero. Le sezioni vengono eseguite normalmente alla direzione del movimento del fluido, e i luoghi in cui vengono eseguite sono scelti in modo che le sezioni siano piane, contengano quantità incognite da determinare e un numero sufficiente di quantità note. Tipicamente, tali luoghi sono la superficie libera del liquido, l'ingresso o l'uscita dalla tubazione, i punti di connessione degli strumenti di misura, ecc. Successivamente, per le sezioni selezionate, che sono numerate lungo la direzione del liquido, l'equazione di Bernoulli è scritto, si sostituiscono i valori numerici delle quantità e si calcolano quelli richiesti.
Quando si risolvono alcuni problemi, è necessario utilizzare ulteriormente la condizione di continuità (continuità) del flusso e prendere più di due sezioni.
Le pressioni assolute vengono sostituite nell'equazione di Bernoulli. Mostriamolo con un semplice esempio (Fig. 1.32). Sia necessario determinare la velocità del flusso del fluido da un serbatoio attraverso un foro nel muro a pressione costante (il livello del liquido nel serbatoio è costante).
P
Riso. 1.32. Perdita di liquido dal foro
.
Misura delle pressioni e delle velocità locali. Un fluido in riposo non ha energia cinetica. Allora assume la forma l'integrale di Bernoulli (1.118).
cost. (1.128)
Indica la pressione sulla superficie libera del liquido P 0 e le sue coordinate z 0 (Fig. 1.33), possiamo dare la forma all'equazione (1.128).
O 
.
(1.129)
DI
Riso. 1.33. Misurazione della pressione con piezometri
.
Quest'ultima è l'equazione base dell'idrostatica (1.26) ed è stata ottenuta in precedenza risolvendo le equazioni differenziali di equilibrio di Eulero.
Entriamo nel punto IN(Fig. 1.33) piezometro chiuso, che è un tubo di vetro con un'estremità superiore sigillata da cui è stata rimossa l'aria. Sotto l'influenza della pressione sul punto IN il liquido sale ad una certa altezza H’ . Per calcolarlo scriviamo la (1.26) per un fluido a riposo in un piezometro. Poiché l'aria è stata rimossa da esso, la pressione sopra il liquido sarà zero.
,
(1.130)
.
(1.131)
Pertanto, l'altezza del liquido che sale nel piezometro su una certa scala (1: G) determina l'energia potenziale specifica dello stato liquido e l'espressione (1.131) può essere utilizzata per calcolare la pressione misurata utilizzando un piezometro. La formula (1.131) determina il metodo per convertire le pressioni espresse dall'altezza di una colonna di liquido in unità dimensionali.
Poiché la (1.26) è stata ottenuta a partire dalla (1.130), è facile vedere che in qualunque punto di un dato fluido a riposo poniamo un piezometro, la somma delle coordinate z questo punto e l'altezza di risalita del liquido nel piezometro rimane costante, cioè il menisco superiore del liquido nel piezometro sarà sempre allo stesso livello. Piano orizzontale UN- UN(Fig. 1.33) viene prelevato attraverso i menischi superiori del liquido nei piezometri piano di pressione costruito utilizzando la pressione assoluta.
Un piezometro chiuso, come vediamo, misura la pressione assoluta in un liquido. La pressione in eccesso può essere misurata utilizzando piezometro aperto, che è un tubo di vetro aperto su entrambe le estremità.
Posizioniamo in corrispondenza del punto un piezometro aperto (vedi Fig. 1.33). 
, situato alla stessa profondità sotto la superficie libera del punto IN. Dalla (1.26) è chiaro che le pressioni nei punti 
E IN sarà lo stesso.
La pressione atmosferica agirà al di sopra della superficie libera del liquido nel piezometro, quindi in base alla (1.26) possiamo scrivere 
, Dove
,
(1.132)
cioè l'altezza del liquido che sale in un piezometro aperto su una scala (1: G) misura la stessa energia potenziale specifica dello stato liquido, ma determinata dalla sovrappressione.
CON
Riso. 1.34. Misurazione delle velocità locali con un tubo di Pitot-Prandtl
(vedi Fig. 1.33), prelevato attraverso i menischi superiori del liquido in piezometri aperti, si troverà al di sotto del piano UN-
UN all'altezza 
, che è facile da verificare utilizzando (1.132) e (1.133).
Per misurare le velocità locali in canali chiusi, il movimento del fluido in cui è chiamato pressione, viene utilizzato un tubo di Pitot-Prandtl, che è una combinazione di un tubo di Pitot e un piezometro (Fig. 1.34), che di solito sono combinati in un unico disegno .
Il tubo di Pitot-Prandtl viene inserito nel flusso in modo che l'estremità aperta del tubo di Pitot sia diretta perpendicolarmente al vettore velocità e l'estremità aperta del piezometro sia diretta tangenzialmente.
Come nel caso precedente, la condizione vale anche per il tubo di Pitot
,
(1.133)
solo altezza H E 
hanno qui un significato diverso (vedi Fig. 1.34).
Poiché il liquido scivola vicino alla sezione di ingresso del piezometro senza frenare, in esso agirà la stessa pressione del liquido in movimento, cioè 
. Per esso, in base alla (1.70), possiamo scrivere (poiché la pressione atmosferica agisce sul pelo libero del liquido nel piezometro, come nel tubo di Pitot) l'equazione
Supponiamo che il fluido sia ideale, che le forze di massa siano conservative, che il movimento sia stazionario e che vi sia barotropia sulla linea di flusso.
Poiché il fluido è ideale, l'equazione del moto lo è
Poiché le forze di massa sono conservatrici, allora
e l'equazione (2.1) può essere riscritta come
(2.3)
L'assunzione della barotropia su una linea aerodinamica significa proprio questo
dove C è costante lungo la linea di flusso.
Durante il moto stazionario le traiettorie e le linee di flusso coincidono. Indichiamo con dr(dx,dy,dz) lo spostamento elementare lungo la linea di corrente e moltiplichiamo scalarmente tutti i termini (2.3) per
Poiché la linea aerodinamica è anche una traiettoria, allora
Oltretutto,
Sostituendo (2.6) e (2.7) nella (2.5), otteniamo
Tenendo presente la (2.4), introduciamo la funzione P(p, C):
Tenendo conto della (2.9), l'uguaglianza (2.8) può essere riscritta come:
(2.11)
Le uguaglianze (2.10) e (2.11) si verificano su qualsiasi linea di flusso, ma la costante sul lato destro di (2.11) può cambiare quando ci si sposta da una linea di flusso all'altra.
L’uguaglianza (2.11) è detta integrale di Bernoulli.
Consideriamo l'integrale di Bernoulli per due casi importanti.
1. Fluido omogeneo incomprimibile. In questo caso, è la costante data e . L'integrale di Bernoulli assume la forma
Se le forze di massa sono la gravità, allora V = gz e in questo caso l'integrale di Bernoulli
I singoli termini della (2.14) hanno dimensione di lunghezza e si chiamano pertanto: - velocità, z - geometrica, - altezze piezometriche. L'uguaglianza (2.14) ci permette di dare la seguente formulazione dell'intergalo di Bernoulli: quando un fluido omogeneo incomprimibile si muove in un campo di gravità, la somma della velocità, delle altezze piezometriche e geometriche è costante lungo la linea di corrente.
2. Gas perfetto. In questo caso l’equazione di stato è l’equazione di Clapeyron. Con le ipotesi fatte in questo capitolo vale la Poisson adiabat (1.11). Introduciamo una nuova costante. Poi
Tenendo conto della (2.15), calcoliamo:
Sostituendo la (2.16) nella (2.11), otteniamo l'integrale di Bernoulli nella forma
Dalla fisica è noto che la derivata è uguale al quadrato della velocità del suono. Nel caso di un processo adiabatico si può verificare che . Così,
Questa formula è una delle formule importanti della dinamica dei gas. Nella dinamica dei gas, le forze di massa solitamente non vengono prese in considerazione e la costante C è indicata con . In questo caso l'integrale di Bernoulli assume la forma
Qui v è la velocità del gas ed è la velocità del suono nello stesso punto.
Per determinare la costante a destra della (2.19), è sufficiente conoscere le caratteristiche in ogni punto della linea di corrente. Dalla (2.19) ne consegue che la velocità del suono e della temperatura, e tenendo conto della (2.15), sia la pressione che la densità saranno massime sulla linea di corrente nel punto in cui la velocità è zero. Queste quantità sono solitamente indicate con e sono chiamate parametri del gas frenato adiabaticamente (parametri di frenatura). La quantità si chiama entalpia (contenuto di calore). Di conseguenza, la costante a destra dell'integrale (2.19) è chiamata entalpia di stagnazione. Inserendo la velocità nella (2.19), otteniamo un'espressione in termini dei parametri del gas ritardato.
