Come trovare una soluzione generale a un sistema di equazioni lineari. Risolvere sistemi di equazioni lineari

Contenuto della lezione

Equazioni lineari con due variabili

Lo studente ha 200 rubli per pranzare a scuola. Una torta costa 25 rubli e una tazza di caffè 10 rubli. Quante torte e tazze di caffè puoi comprare per 200 rubli?

Indica il numero di torte attraverso X e il numero di tazze di caffè erogate si. Quindi il costo delle torte sarà indicato dall'espressione 25 X, e il costo delle tazzine da caffè in 10 si .

25X- prezzo X torte
10y- prezzo si tazze di caffè

L'importo totale dovrebbe essere di 200 rubli. Quindi otteniamo un'equazione con due variabili X E si

25X+ 10si= 200

Quante radici ha questa equazione?

Tutto dipende dall'appetito dello studente. Se compra 6 torte e 5 tazze di caffè, allora le radici dell'equazione saranno i numeri 6 e 5.

Si dice che la coppia di valori 6 e 5 sia le radici dell'equazione 25 X+ 10si= 200. Scritto come (6; 5) , con il primo numero che rappresenta il valore della variabile X e il secondo - il valore della variabile si .

6 e 5 non sono le uniche radici che invertono l'equazione 25 X+ 10si= 200 all'identità. Se lo si desidera, per gli stessi 200 rubli, uno studente può acquistare 4 torte e 10 tazze di caffè:

In questo caso, le radici dell'equazione 25 X+ 10si= 200 è la coppia di valori (4; 10) .

Inoltre, uno studente potrebbe non comprare affatto il caffè, ma comprare torte per tutti i 200 rubli. Quindi le radici dell'equazione 25 X+ 10si= 200 saranno i valori 8 e 0

O viceversa, non comprare torte, ma compra caffè per tutti i 200 rubli. Quindi le radici dell'equazione 25 X+ 10si= 200 saranno i valori 0 e 20

Proviamo a elencare tutte le possibili radici dell'equazione 25 X+ 10si= 200. Siamo d'accordo che i valori X E si appartengono all'insieme dei numeri interi. E lascia che questi valori siano maggiori o uguali a zero:

X∈Z, e∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Quindi sarà conveniente per lo studente stesso. Le torte sono più convenienti da acquistare intere rispetto, ad esempio, a diverse torte intere e mezza torta. Il caffè è anche più comodo da prendere in tazze intere rispetto, ad esempio, a diverse tazze intere e mezza tazza.

Nota che per dispari Xè impossibile raggiungere l'uguaglianza sotto nessuno si. Poi i valori X ci saranno i seguenti numeri 0, 2, 4, 6, 8. E sapere X può essere facilmente determinato si

Quindi, abbiamo ottenuto le seguenti coppie di valori (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Queste coppie sono soluzioni o radici dell'equazione 25 X+ 10si= 200. Trasformano questa equazione in un'identità.

Digitare l'equazione ax + by = c chiamato equazione lineare con due variabili. Una soluzione o radici di questa equazione è una coppia di valori ( X; si), che lo trasforma in un'identità.

Si noti inoltre che se un'equazione lineare con due variabili è scritta come ax + b y = c , poi dicono che è scritto canonico forma (normale).

Alcune equazioni lineari in due variabili possono essere ridotte alla forma canonica.

Ad esempio, l'equazione 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − si) può essere ricordato ax + by = c. Apriamo le parentesi in entrambe le parti di questa equazione, otteniamo 32X + 6si − 8 = 24 + 16X − 2si . I termini contenenti incognite sono raggruppati sul lato sinistro dell'equazione, mentre i termini privi di incognite sono raggruppati sulla destra. Quindi otteniamo 32X - 16X+ 6si+ 2si = 24 + 8 . Portiamo termini simili in entrambe le parti, otteniamo l'equazione 16 X+ 8si= 32. Questa equazione è ridotta alla forma ax + by = c ed è canonico.

Equazione 25 considerata in precedenza X+ 10si= 200 è anche un'equazione lineare a due variabili in forma canonica. In questa equazione, i parametri UN , B E C sono pari rispettivamente ai valori 25, 10 e 200.

In realtà l'equazione ax + by = c ha un numero infinito di soluzioni. Risolvere l'equazione 25X+ 10si= 200, abbiamo cercato le sue radici solo sull'insieme degli interi. Di conseguenza, abbiamo ottenuto diverse coppie di valori che hanno trasformato questa equazione in un'identità. Ma sull'insieme dei numeri razionali l'equazione 25 X+ 10si= 200 avrà un numero infinito di soluzioni.

Per ottenere nuove coppie di valori, devi prendere un valore arbitrario per X, quindi esprimere si. Ad esempio, prendiamo una variabile X valore 7. Quindi otteniamo un'equazione con una variabile 25×7 + 10si= 200 in cui esprimersi si

Permettere X= 15. Poi l'equazione 25X+ 10si= 200 diventa 25 × 15 + 10si= 200. Da qui lo troviamo si = −17,5

Permettere X= -3. Poi l'equazione 25X+ 10si= 200 diventa 25 × (−3) + 10si= 200. Da qui lo troviamo si = −27,5

Sistema di due equazioni lineari con due variabili

Per l'equazione ax + by = c puoi prendere qualsiasi numero di volte valori arbitrari per X e trova i valori per si. Preso separatamente, una tale equazione avrà un numero infinito di soluzioni.

Ma succede anche che le variabili X E si collegati non da una, ma da due equazioni. In questo caso, formano il cosiddetto sistema di equazioni lineari a due variabili. Un tale sistema di equazioni può avere una coppia di valori (o in altre parole: "una soluzione").

Può anche accadere che il sistema non abbia alcuna soluzione. Un sistema di equazioni lineari può avere un numero infinito di soluzioni in casi rari ed eccezionali.

Due equazioni lineari formano un sistema quando i valori X E si sono inclusi in ciascuna di queste equazioni.

Torniamo alla primissima equazione 25 X+ 10si= 200. Una delle coppie di valori per questa equazione era la coppia (6; 5) . Questo è il caso in cui 200 rubli potrebbero comprare 6 torte e 5 tazze di caffè.

Componiamo il problema in modo che la coppia (6; 5) diventi l'unica soluzione per l'equazione 25 X+ 10si= 200. Per fare ciò, componiamo un'altra equazione che collegherebbe lo stesso X torte e si tazze di caffè.

Mettiamo il testo dell'attività come segue:

“Uno scolaro ha comprato diverse torte e diverse tazze di caffè per 200 rubli. Una torta costa 25 rubli e una tazza di caffè 10 rubli. Quante torte e tazzine di caffè ha comprato lo studente se è noto che il numero di torte è uno in più rispetto al numero di tazzine di caffè?

Abbiamo già la prima equazione. Questa è l'equazione 25 X+ 10si= 200. Ora scriviamo un'equazione per la condizione "il numero di torte è un'unità in più rispetto al numero di tazze di caffè" .

Il numero di torte è X, e il numero di tazze di caffè è si. Puoi scrivere questa frase usando l'equazione x-y= 1. Questa equazione significherebbe che la differenza tra torte e caffè è 1.

x=y+ 1 . Questa equazione significa che il numero di torte è uno in più rispetto al numero di tazze di caffè. Pertanto, per ottenere l'uguaglianza, si aggiunge uno al numero di tazzine di caffè. Questo può essere facilmente compreso se utilizziamo il modello di peso che abbiamo considerato durante lo studio dei problemi più semplici:

Ho due equazioni: 25 X+ 10si= 200 e x=y+ 1. Poiché i valori X E si, vale a dire 6 e 5 sono inclusi in ciascuna di queste equazioni, quindi insieme formano un sistema. Scriviamo questo sistema. Se le equazioni formano un sistema, allora sono incorniciate dal segno del sistema. Il segno di sistema è una parentesi graffa:

Risolviamo questo sistema. Questo ci permetterà di vedere come arriviamo ai valori 6 e 5. Esistono molti metodi per risolvere tali sistemi. Considera il più popolare di loro.

Metodo di sostituzione

Il nome di questo metodo parla da solo. La sua essenza è sostituire un'equazione con un'altra, avendo precedentemente espresso una delle variabili.

Nel nostro sistema non c'è bisogno di esprimere nulla. Nella seconda equazione X = si+ 1 variabile X già espresso. Questa variabile è uguale all'espressione si+ 1 . Quindi puoi sostituire questa espressione nella prima equazione invece della variabile X

Dopo aver sostituito l'espressione si+ 1 nella prima equazione invece X, otteniamo l'equazione 25(si+ 1) + 10si= 200 . Questa è un'equazione lineare con una variabile. Questa equazione è abbastanza facile da risolvere:

Abbiamo trovato il valore della variabile si. Ora sostituiamo questo valore in una delle equazioni e troviamo il valore X. Per questo, è conveniente usare la seconda equazione X = si+ 1 . Mettiamoci il valore si

Quindi la coppia (6; 5) è una soluzione del sistema di equazioni, come intendevamo. Controlliamo e ci assicuriamo che la coppia (6; 5) soddisfi il sistema:

Esempio 2

Sostituisci la prima equazione X= 2 + si nella seconda equazione 3 X - 2si= 9. Nella prima equazione, la variabile Xè uguale all'espressione 2 + si. Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione invece di X

Ora troviamo il valore X. Per fare ciò, sostituire il valore si nella prima equazione X= 2 + si

Quindi la soluzione del sistema è il valore di coppia (5; 3)

Esempio 3. Risolvere il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione:

Qui, a differenza degli esempi precedenti, una delle variabili non è espressa esplicitamente.

Per sostituire un'equazione in un'altra, devi prima avere .

È desiderabile esprimere la variabile che ha un coefficiente pari a uno. L'unità del coefficiente ha una variabile X, che è contenuto nella prima equazione X+ 2si= 11. Esprimiamo questa variabile.

Dopo un'espressione variabile X, il nostro sistema sarà simile a questo:

Ora sostituiamo la prima equazione nella seconda e troviamo il valore si

Sostituire si X

Quindi la soluzione del sistema è una coppia di valori (3; 4)

Ovviamente puoi anche esprimere una variabile si. Le radici non cambieranno. Ma se esprimi si, il risultato non è un'equazione molto semplice, la cui soluzione richiederà più tempo. Sembrerà così:

Lo vediamo in questo esempio per esprimere X molto più conveniente che esprimere si .

Esempio 4. Risolvere il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione:

Esprimi nella prima equazione X. Quindi il sistema assumerà la forma:

Sostituire si nella prima equazione e trova X. Puoi usare l'equazione originale 7 X+ 9si= 8 , oppure utilizzare l'equazione in cui è espressa la variabile X. Useremo questa equazione, poiché è conveniente:

Quindi la soluzione del sistema è la coppia di valori (5; −3)

Metodo di addizione

Il metodo dell'addizione consiste nell'aggiungere termine per termine le equazioni incluse nel sistema. Questa aggiunta si traduce in una nuova equazione a una variabile. Ed è abbastanza facile risolvere questa equazione.

Risolviamo il seguente sistema di equazioni:

Aggiungi il lato sinistro della prima equazione al lato sinistro della seconda equazione. E il lato destro della prima equazione con il lato destro della seconda equazione. Otteniamo la seguente uguaglianza:

Ecco termini simili:

Di conseguenza, abbiamo ottenuto l'equazione più semplice 3 X= 27 la cui radice è 9. Conoscere il valore X puoi trovare il valore si. Sostituisci il valore X nella seconda equazione x-y= 3. Otteniamo 9 − si= 3. Da qui si= 6 .

Quindi la soluzione del sistema è una coppia di valori (9; 6)

Esempio 2

Aggiungi il lato sinistro della prima equazione al lato sinistro della seconda equazione. E il lato destro della prima equazione con il lato destro della seconda equazione. Nell'uguaglianza risultante, presentiamo termini simili:

Di conseguenza, abbiamo ottenuto l'equazione più semplice 5 X= 20, la cui radice è 4. Conoscere il valore X puoi trovare il valore si. Sostituisci il valore X nella prima equazione 2 x+y= 11. Prendiamo 8 + si= 11. Da qui si= 3 .

Quindi la soluzione del sistema è la coppia di valori (4;3)

Il processo di aggiunta non è descritto in dettaglio. Deve essere fatto nella mente. Quando si aggiungono, entrambe le equazioni devono essere ridotte alla forma canonica. Cioè, alla mente ac+by=c .

Dagli esempi considerati, si può vedere che l'obiettivo principale dell'aggiunta di equazioni è eliminare una delle variabili. Ma non è sempre possibile risolvere immediatamente il sistema di equazioni con il metodo dell'addizione. Molto spesso, il sistema viene preliminarmente portato a una forma in cui è possibile aggiungere le equazioni incluse in questo sistema.

Ad esempio, il sistema può essere risolto direttamente con il metodo dell'addizione. Quando si aggiungono entrambe le equazioni, i termini si E -y svaniscono perché la loro somma è nulla. Di conseguenza, si forma l'equazione più semplice 11 X= 22 , la cui radice è 2. Quindi sarà possibile determinare si uguale a 5.

E il sistema di equazioni il metodo dell'addizione non può essere risolto immediatamente, poiché ciò non porterà alla scomparsa di una delle variabili. L'addizione risulterà nell'equazione 8 X+ si= 28 , che ha un numero infinito di soluzioni.

Se entrambe le parti dell'equazione vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero che non è uguale a zero, si otterrà un'equazione equivalente a quella data. Questa regola vale anche per un sistema di equazioni lineari con due variabili. Una delle equazioni (o entrambe le equazioni) può essere moltiplicata per un numero. Il risultato è un sistema equivalente, le cui radici coincideranno con il precedente.

Torniamo al primissimo sistema, che descriveva quante torte e tazze di caffè aveva comprato lo studente. La soluzione di questo sistema era una coppia di valori (6; 5) .

Moltiplichiamo entrambe le equazioni incluse in questo sistema per alcuni numeri. Diciamo che moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3

Il risultato è un sistema
La soluzione a questo sistema è ancora la coppia di valori (6; 5)

Ciò significa che le equazioni incluse nel sistema possono essere ridotte a una forma adatta all'applicazione del metodo dell'addizione.

Torniamo al sistema , che non siamo riusciti a risolvere con il metodo dell'addizione.

Moltiplica la prima equazione per 6 e la seconda per −2

Quindi otteniamo il seguente sistema:

Aggiungiamo le equazioni incluse in questo sistema. Aggiunta di componenti 12 X e -12 X risulterà in 0, addizione 18 si e 4 si darà 22 si, e sommando 108 e −20 si ottiene 88. Quindi si ottiene l'equazione 22 si= 88 , quindi si = 4 .

Se all'inizio è difficile aggiungere equazioni nella tua mente, puoi scrivere come il lato sinistro della prima equazione viene aggiunto al lato sinistro della seconda equazione e il lato destro della prima equazione al lato destro di la seconda equazione:

Sapendo che il valore della variabile siè 4, puoi trovare il valore X. Sostituire si in una delle equazioni, ad esempio nella prima equazione 2 X+ 3si= 18. Quindi otteniamo un'equazione con una variabile 2 X+ 12 = 18 . Trasferiamo 12 sul lato destro, cambiando segno, otteniamo 2 X= 6 , quindi X = 3 .

Esempio 4. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo dell'addizione:

Moltiplica la seconda equazione per −1. Quindi il sistema assumerà la seguente forma:

Aggiungiamo entrambe le equazioni. Aggiunta di componenti X E −x risulterà in 0, addizione 5 si e 3 si darà 8 si, e sommando 7 e 1 si ottiene 8. Il risultato è l'equazione 8 si= 8 , la cui radice è 1. Sapendo che il valore siè 1, puoi trovare il valore X .

Sostituire si nella prima equazione, otteniamo X+ 5 = 7 , quindi X= 2

Esempio 5. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo dell'addizione:

È auspicabile che i termini contenenti le stesse variabili si trovino uno sotto l'altro. Pertanto, nella seconda equazione, i termini 5 si e -2 X cambiare posto. Di conseguenza, il sistema assumerà la forma:

Moltiplica la seconda equazione per 3. Quindi il sistema assumerà la forma:

Ora aggiungiamo entrambe le equazioni. Come risultato dell'addizione, otteniamo l'equazione 8 si= 16 , la cui radice è 2.

Sostituire si nella prima equazione, otteniamo 6 X− 14 = 40 . Trasferiamo il termine −14 a destra, cambiando segno, otteniamo 6 X= 54. Da qui X= 9.

Esempio 6. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo dell'addizione:

Liberiamoci delle frazioni. Moltiplica la prima equazione per 36 e la seconda per 12

Nel sistema risultante la prima equazione può essere moltiplicata per −5 e la seconda per 8

Aggiungiamo le equazioni nel sistema risultante. Quindi otteniamo l'equazione più semplice −13 si= −156 . Da qui si= 12. Sostituire si nella prima equazione e trova X

Esempio 7. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo dell'addizione:

Portiamo entrambe le equazioni in forma normale. Qui è conveniente applicare la regola della proporzione in entrambe le equazioni. Se nella prima equazione il lato destro è rappresentato come , e il lato destro della seconda equazione come , allora il sistema assumerà la forma:

Abbiamo una proporzione. Moltiplichiamo i suoi termini estremi e medi. Quindi il sistema assumerà la forma:

Moltiplichiamo la prima equazione per −3 e apriamo le parentesi nella seconda:

Ora aggiungiamo entrambe le equazioni. Come risultato dell'aggiunta di queste equazioni, otteniamo un'uguaglianza, in entrambe le parti della quale ci sarà zero:

Si scopre che il sistema ha un numero infinito di soluzioni.

Ma non possiamo semplicemente prendere valori arbitrari dal cielo per X E si. Possiamo specificare uno dei valori e l'altro sarà determinato in base al valore che abbiamo specificato. Ad esempio, lascia X= 2. Sostituisci questo valore nel sistema:

Come risultato della risoluzione di una delle equazioni, il valore per si, che soddisferà entrambe le equazioni:

La coppia di valori risultante (2; −2) soddisferà il sistema:

Troviamo un'altra coppia di valori. Permettere X= 4. Sostituisci questo valore nel sistema:

Può essere determinato a occhio che si uguale a zero. Quindi otteniamo una coppia di valori (4; 0), che soddisfa il nostro sistema:

Esempio 8. Risolvi il seguente sistema di equazioni usando il metodo dell'addizione:

Moltiplica la prima equazione per 6 e la seconda per 12

Riscriviamo ciò che resta:

Moltiplica la prima equazione per −1. Quindi il sistema assumerà la forma:

Ora aggiungiamo entrambe le equazioni. Come risultato dell'addizione, si forma l'equazione 6 B= 48 , la cui radice è 8. Sostituisci B nella prima equazione e trova UN

Sistema di equazioni lineari a tre variabili

Un'equazione lineare con tre variabili include tre variabili con coefficienti e un'intercetta. In forma canonica si può scrivere così:

ax + by + cz = d

Questa equazione ha un numero infinito di soluzioni. Assegnando a due variabili valori diversi, è possibile trovare un terzo valore. La soluzione in questo caso è la tripla dei valori ( X; y; z.z) che trasforma l'equazione in un'identità.

Se variabili x, y, z sono interconnesse da tre equazioni, quindi si forma un sistema di tre equazioni lineari con tre variabili. Per risolvere un tale sistema, puoi applicare gli stessi metodi che si applicano alle equazioni lineari con due variabili: il metodo di sostituzione e il metodo di addizione.

Esempio 1. Risolvere il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione:

Esprimiamo nella terza equazione X. Quindi il sistema assumerà la forma:

Ora facciamo la sostituzione. Variabile Xè uguale all'espressione 3 − 2si − 2z.z . Sostituisci questa espressione nella prima e nella seconda equazione:

Apriamo le parentesi in entrambe le equazioni e diamo termini simili:

Siamo giunti a un sistema di equazioni lineari con due variabili. In questo caso, è conveniente applicare il metodo dell'addizione. Di conseguenza, la variabile si scomparirà e potremo trovare il valore della variabile z.z

Ora troviamo il valore si. Per questo, è conveniente usare l'equazione - si+ z.z= 4. Sostituire il valore z.z

Ora troviamo il valore X. Per questo, è conveniente usare l'equazione X= 3 − 2si − 2z.z . Sostituisci i valori in esso si E z.z

Pertanto, la tripla dei valori (3; −2; 2) è la soluzione del nostro sistema. Controllando, ci assicuriamo che questi valori soddisfino il sistema:

Esempio 2. Risolvere il sistema con il metodo dell'addizione

Sommiamo la prima equazione con la seconda moltiplicata per −2.

Se la seconda equazione viene moltiplicata per −2, assumerà la forma −6X+ 6y- 4z.z = −4 . Ora aggiungilo alla prima equazione:

Vediamo che a seguito di trasformazioni elementari, il valore della variabile è stato determinato X. È uguale a uno.

Torniamo al sistema principale. Sommiamo la seconda equazione con la terza moltiplicata per −1. Se la terza equazione viene moltiplicata per −1, assumerà la forma −4X + 5si − 2z.z = −1 . Ora aggiungilo alla seconda equazione:

Ho l'equazione X - 2si= -1. Sostituisci il valore in esso X che abbiamo trovato prima. Quindi possiamo determinare il valore si

Ora conosciamo i valori X E si. Ciò consente di determinare il valore z.z. Usiamo una delle equazioni incluse nel sistema:

Pertanto, la tripla dei valori (1; 1; 1) è la soluzione al nostro sistema. Controllando, ci assicuriamo che questi valori soddisfino il sistema:

Compiti per la compilazione di sistemi di equazioni lineari

Il compito di compilare sistemi di equazioni viene risolto introducendo diverse variabili. Successivamente, le equazioni vengono compilate in base alle condizioni del problema. Dalle equazioni compilate, formano un sistema e lo risolvono. Dopo aver risolto il sistema, è necessario verificare se la sua soluzione soddisfa le condizioni del problema.

Compito 1. Un'auto Volga ha lasciato la città per la fattoria collettiva. È tornata indietro lungo un'altra strada, più corta della prima di 5 km. In totale, l'auto ha percorso 35 km in entrambe le direzioni. Quanti chilometri è lunga ogni strada?

Soluzione

Permettere X- lunghezza della prima strada, si- la lunghezza del secondo. Se l'auto ha percorso 35 km in entrambe le direzioni, la prima equazione può essere scritta come X+ si= 35. Questa equazione descrive la somma delle lunghezze di entrambe le strade.

Si dice che l'auto stesse tornando indietro lungo la strada, che era più corta della prima di 5 km. Quindi la seconda equazione può essere scritta come X− si= 5. Questa equazione mostra che la differenza tra le lunghezze delle strade è di 5 km.

Oppure la seconda equazione può essere scritta come X= si+ 5 . Useremo questa equazione.

Poiché le variabili X E si in entrambe le equazioni denotiamo lo stesso numero, quindi possiamo formare un sistema da esse:

Risolviamo questo sistema utilizzando uno dei metodi precedentemente studiati. In questo caso è conveniente utilizzare il metodo di sostituzione, poiché nella seconda equazione la variabile X già espresso.

Sostituisci la seconda equazione nella prima e trova si

Sostituisci il valore trovato si nella seconda equazione X= si+ 5 e trova X

La lunghezza della prima strada era indicata dalla variabile X. Ora abbiamo trovato il suo significato. Variabile Xè 20. Quindi la lunghezza della prima strada è 20 km.

E la lunghezza della seconda strada era indicata da si. Il valore di questa variabile è 15. Quindi la lunghezza della seconda strada è di 15 km.

Facciamo un controllo. Innanzitutto, assicuriamoci che il sistema sia risolto correttamente:

Verifichiamo ora se la soluzione (20; 15) soddisfa le condizioni del problema.

Si diceva che in totale l'auto avesse percorso 35 km in entrambe le direzioni. Sommiamo le lunghezze di entrambe le strade e ci assicuriamo che la soluzione (20; 15) soddisfi questa condizione: 20 km + 15 km = 35 km

Condizione successiva: l'auto è tornata indietro lungo un'altra strada, più corta della prima di 5 km . Vediamo che la soluzione (20; 15) soddisfa anche questa condizione, poiché 15 km è più breve di 20 km per 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Quando si compila un sistema, è importante che le variabili indichino gli stessi numeri in tutte le equazioni incluse in questo sistema.

Quindi il nostro sistema contiene due equazioni. Queste equazioni a loro volta contengono le variabili X E si, che denotano gli stessi numeri in entrambe le equazioni, vale a dire le lunghezze delle strade pari a 20 km e 15 km.

Compito 2. Sulla piattaforma sono state caricate traversine di quercia e pino, per un totale di 300 traversine. È noto che tutte le traversine di quercia pesavano 1 tonnellata in meno di tutte le traversine di pino. Determina quante traversine di quercia e pino c'erano separatamente, se ogni traversina di quercia pesava 46 kg e ogni traversina di pino 28 kg.

Soluzione

Permettere X quercia e si le traversine di pino furono caricate sulla piattaforma. Se ci fossero 300 dormienti in totale, allora la prima equazione può essere scritta come x+y = 300 .

Tutte le traversine di quercia pesavano 46 X kg e il pino pesava 28 si kg. Poiché le traversine di quercia pesavano 1 tonnellata in meno rispetto alle traversine di pino, la seconda equazione può essere scritta come 28y- 46X= 1000 . Questa equazione mostra che la differenza di massa tra le traversine di quercia e di pino è di 1000 kg.

Le tonnellate sono state convertite in chilogrammi perché la massa delle traversine di quercia e pino è misurata in chilogrammi.

Di conseguenza, otteniamo due equazioni che formano il sistema

Risolviamo questo sistema. Esprimi nella prima equazione X. Quindi il sistema assumerà la forma:

Sostituisci la prima equazione nella seconda e trova si

Sostituire si nell'equazione X= 300 − si e scopri cosa X

Ciò significa che sulla piattaforma sono state caricate 100 traversine di quercia e 200 di pino.

Verifichiamo se la soluzione (100; 200) soddisfa le condizioni del problema. Innanzitutto, assicuriamoci che il sistema sia risolto correttamente:

Si diceva che ci fossero 300 dormienti in totale. Sommiamo il numero di traversine di quercia e pino e ci assicuriamo che la soluzione (100; 200) soddisfi questa condizione: 100 + 200 = 300.

Condizione successiva: tutte le traversine di quercia pesavano 1 tonnellata in meno di tutto il pino . Vediamo che la soluzione (100; 200) soddisfa anche questa condizione, poiché 46 × 100 kg di traversine di quercia sono più leggere di 28 × 200 kg di traversine di pino: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Compito 3. Abbiamo preso tre pezzi di una lega di rame e nichel in rapporti di 2: 1, 3: 1 e 5: 1 in peso. Di questi, un pezzo del peso di 12 kg è stato fuso con un rapporto di contenuto di rame e nichel di 4: 1. Trova la massa di ciascun pezzo originale se la massa del primo è il doppio della massa del secondo.

Oggi ci occupiamo del metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari. Puoi leggere quali sono questi sistemi nel precedente articolo dedicato alla risoluzione dello stesso SLAE con il metodo Cramer. Il metodo Gauss non richiede alcuna conoscenza specifica, servono solo cura e costanza. Nonostante dal punto di vista della matematica, la preparazione scolastica sia sufficiente per la sua applicazione, la padronanza di questo metodo spesso causa difficoltà agli studenti. In questo articolo cercheremo di ridurli a nulla!

Metodo di Gauss

M Metodo di Gaussè il metodo più universale per risolvere SLAE (con l'eccezione di sistemi molto grandi). A differenza di quello discusso in precedenza, è adatto non solo per sistemi che hanno un'unica soluzione, ma anche per sistemi che hanno un numero infinito di soluzioni. Ci sono tre opzioni qui.

Il sistema ha una soluzione unica (il determinante della matrice principale del sistema non è uguale a zero);
Il sistema ha un numero infinito di soluzioni;
Non ci sono soluzioni, il sistema è incoerente.

Quindi, abbiamo un sistema (lascia che abbia una soluzione) e lo risolveremo usando il metodo gaussiano. Come funziona?

Il metodo gaussiano consiste in due fasi: diretta e inversa.

Metodo di Gauss diretto

Per prima cosa scriviamo la matrice aumentata del sistema. Per fare ciò, aggiungiamo una colonna di membri liberi alla matrice principale.

L'intera essenza del metodo gaussiano è ridurre questa matrice a una forma a gradini (o, come si dice, triangolare) mediante trasformazioni elementari. In questa forma, dovrebbero esserci solo zeri sotto (o sopra) la diagonale principale della matrice.

Cosa si può fare:

Puoi riorganizzare le righe della matrice;
Se nella matrice sono presenti righe identiche (o proporzionali), è possibile eliminarle tutte tranne una;
Puoi moltiplicare o dividere una stringa per qualsiasi numero (eccetto zero);
Le linee zero vengono rimosse;
È possibile aggiungere a una stringa una stringa moltiplicata per un numero diverso da zero.

Metodo Gauss inverso

Dopo aver trasformato il sistema in questo modo, uno sconosciuto xn diventa nota, ed è possibile trovare tutte le restanti incognite in ordine inverso, sostituendo le x già note nelle equazioni del sistema, fino alla prima.

Quando Internet è sempre a portata di mano, puoi risolvere il sistema di equazioni usando il metodo di Gauss in linea . Tutto quello che devi fare è inserire le quote nel calcolatore online. Ma devi ammettere che è molto più piacevole rendersi conto che l'esempio non è stato risolto da un programma per computer, ma dal tuo stesso cervello.

Un esempio di risoluzione di un sistema di equazioni usando il metodo di Gauss

E ora - un esempio, in modo che tutto diventi chiaro e comprensibile. Sia dato un sistema di equazioni lineari, ed è necessario risolverlo con il metodo di Gauss:

Per prima cosa, scriviamo la matrice aumentata:

Ora diamo un'occhiata alle trasformazioni. Ricorda che dobbiamo ottenere una forma triangolare della matrice. Moltiplica la prima riga per (3). Moltiplica la seconda riga per (-1). Aggiungiamo la seconda riga alla prima e otteniamo:

Quindi moltiplica la terza riga per (-1). Aggiungiamo la terza riga alla seconda:

Moltiplica la prima riga per (6). Moltiplica la seconda riga per (13). Aggiungiamo la seconda riga alla prima:

Voilà: il sistema viene portato nella forma appropriata. Resta da trovare le incognite:

Il sistema in questo esempio ha una soluzione univoca. Considereremo la soluzione di sistemi con un insieme infinito di soluzioni in un articolo separato. Forse all'inizio non saprai da dove iniziare con le trasformazioni di matrici, ma dopo un'adeguata pratica ci metterai le mani sopra e farai clic sullo SLAE gaussiano come matti. E se all'improvviso ti imbatti in uno SLAU, che risulta essere un osso troppo duro da spezzare, contatta i nostri autori! è possibile lasciando una domanda nella corrispondenza. Insieme risolveremo qualsiasi problema!

§1. Sistemi di equazioni lineari.

sistema di visualizzazione

detto sistema M equazioni lineari con N sconosciuto.

Qui
- sconosciuto, - coefficienti per incognite,
- membri liberi delle equazioni.

Se tutti i termini liberi delle equazioni sono uguali a zero, viene chiamato il sistema omogeneo.Decisione sistema è chiamato un insieme di numeri
, quando le sostituiamo nel sistema invece delle incognite, tutte le equazioni si trasformano in identità. Il sistema è chiamato giunto se ha almeno una soluzione. Viene chiamato un sistema di giunzione con una soluzione unica certo. I due sistemi sono chiamati equivalente se gli insiemi delle loro soluzioni sono gli stessi.

Il sistema (1) può essere rappresentato in forma matriciale utilizzando l'equazione

(2)

§2. Compatibilità di sistemi di equazioni lineari.

Chiamiamo matrice la matrice estesa del sistema (1).

Kronecker - Teorema di Capelli. Il sistema (1) è consistente se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa:

§3. Soluzione di sistemiN equazioni lineari conN sconosciuto.

Consideriamo un sistema disomogeneo N equazioni lineari con N sconosciuto:

(3)

Il teorema di Cramer.Se la determinante principale del sistema (3)
, allora il sistema ha un'unica soluzione determinata dalle formule:

quelli.
,

Dove - il determinante ottenuto dal determinante sostituzione esima colonna alla colonna dei membri gratuiti.

Se
, e almeno uno di ≠0, allora il sistema non ha soluzioni.

Se
, allora il sistema ha infinite soluzioni.

Il sistema (3) può essere risolto usando la sua notazione matriciale (2). Se il rango della matrice UN equivale N, cioè.
, quindi la matrice UN ha un inverso
. Moltiplicazione dell'equazione della matrice
a matrice
a sinistra otteniamo:

L'ultima uguaglianza esprime un modo per risolvere sistemi di equazioni lineari utilizzando una matrice inversa.

Esempio. Risolvi il sistema di equazioni usando la matrice inversa.

Soluzione. Matrice
non degenerato, perché
, quindi esiste una matrice inversa. Calcoliamo la matrice inversa:
.

Esercizio. Risolvi il sistema con il metodo di Cramer.

§4. Soluzione di sistemi arbitrari di equazioni lineari.

Sia dato un sistema disomogeneo di equazioni lineari della forma (1).

Supponiamo che il sistema sia consistente, cioè è soddisfatta la condizione del teorema di Kronecker-Capelli:
. Se il rango della matrice
(al numero di incognite), allora il sistema ha una soluzione unica. Se
, allora il sistema ha infinite soluzioni. Spieghiamo.

Sia il rango della matrice R(UN)= R< N. Perché il
, allora esiste qualche minore di ordine diverso da zero R. Chiamiamolo il minore di base. Le incognite i cui coefficienti formano il minore di base sono dette variabili di base. Le rimanenti incognite sono chiamate variabili libere. Riorganizziamo le equazioni e rinumeriamo le variabili in modo che questo minore si trovi nell'angolo in alto a sinistra della matrice del sistema:

Primo R le righe sono linearmente indipendenti, il resto è espresso attraverso di esse. Pertanto, queste linee (equazioni) possono essere scartate. Noi abbiamo:

Diamo alle variabili libere valori numerici arbitrari: . Lasciamo solo le variabili di base sul lato sinistro e spostiamo le variabili libere sul lato destro.

Ho un sistema R equazioni lineari con R sconosciuto, il cui determinante è diverso da 0. Ha una soluzione unica.

Questo sistema è chiamato la soluzione generale del sistema di equazioni lineari (1). Altrimenti: viene chiamata l'espressione delle variabili di base in termini di quelle libere soluzione comune sistemi. Da esso puoi ottenere un numero infinito decisioni private, assegnando valori arbitrari alle variabili libere. Si chiama una soluzione particolare ottenuta da una generale a valori nulli delle variabili libere soluzione di base. Il numero di diverse soluzioni di base non supera
. Viene chiamata una soluzione di base con componenti non negativi fondamentale soluzione di sistema.

Esempio.

,R=2.

Variabili
- di base,
- gratuito.

Aggiungiamo le equazioni; esprimere
Attraverso
:

- decisione comune.

- soluzione privata
.

- soluzione di base, di base.

§5. Metodo di Gauss.

Il metodo di Gauss è un metodo universale per studiare e risolvere sistemi arbitrari di equazioni lineari. Consiste nel portare il sistema ad una forma diagonale (o triangolare) mediante eliminazione sequenziale di incognite utilizzando trasformazioni elementari che non violano l'equivalenza dei sistemi. Una variabile si considera esclusa se è contenuta in una sola equazione del sistema con coefficiente 1.

Trasformazioni elementari i sistemi sono:

Moltiplicare un'equazione per un numero diverso da zero;

Aggiunta di un'equazione moltiplicata per qualsiasi numero con un'altra equazione;

Riorganizzazione delle equazioni;

Eliminando l'equazione 0 = 0.

Le trasformazioni elementari possono essere eseguite non su equazioni, ma su matrici estese dei sistemi equivalenti risultanti.

Esempio.

Soluzione. Scriviamo la matrice estesa del sistema:

Eseguendo trasformazioni elementari, portiamo il lato sinistro della matrice nella forma unitaria: creeremo unità sulla diagonale principale e zeri al di fuori di essa.

Commento. Se, quando si eseguono trasformazioni elementari, un'equazione della forma 0 = a(Dove A0), allora il sistema è incoerente.

La soluzione di sistemi di equazioni lineari mediante il metodo dell'eliminazione successiva di incognite può essere formalizzata nella forma tabelle.

La colonna di sinistra della tabella contiene informazioni sulle variabili (di base) escluse. Le restanti colonne contengono i coefficienti delle incognite ei termini liberi delle equazioni.

La matrice espansa del sistema viene scritta nella tabella di origine. Successivamente, procedi all'implementazione delle trasformazioni giordane:

1. Scegli una variabile , che diventerà la base. La colonna corrispondente è chiamata colonna chiave. Scegli un'equazione in cui questa variabile rimarrà, essendo esclusa da altre equazioni. La riga della tabella corrispondente è chiamata riga chiave. Coefficiente Il , che si trova all'intersezione della riga chiave e della colonna chiave, è chiamato chiave.

2. Gli elementi della stringa chiave sono divisi dall'elemento chiave.

3. La colonna chiave è piena di zeri.

4. Gli elementi rimanenti vengono calcolati secondo la regola del rettangolo. Costituiscono un rettangolo, ai vertici opposti del quale sono presenti un elemento chiave e un elemento ricalcolato; dal prodotto degli elementi sulla diagonale del rettangolo con l'elemento chiave, viene sottratto il prodotto degli elementi di un'altra diagonale, la differenza risultante viene divisa per l'elemento chiave.

Esempio. Trova la soluzione generale e la soluzione base del sistema di equazioni:

Soluzione.

Soluzione generale del sistema:

Soluzione di base:
.

Una trasformazione di sostituzione una tantum consente di passare da una base del sistema a un'altra: invece di una delle variabili principali, nella base viene introdotta una delle variabili libere. Per fare ciò, viene selezionato un elemento chiave nella colonna della variabile libera e le trasformazioni vengono eseguite secondo l'algoritmo di cui sopra.

§6. Trovare soluzioni di supporto

La soluzione di riferimento di un sistema di equazioni lineari è una soluzione di base che non contiene componenti negative.

Le soluzioni di supporto del sistema si trovano con il metodo di Gauss nelle seguenti condizioni.

1. Nel sistema originale, tutti i termini liberi devono essere non negativi:
.

2. L'elemento chiave è scelto tra coefficienti positivi.

3. Se la variabile introdotta nella base ha più coefficienti positivi, allora la stringa chiave è quella in cui il rapporto tra il termine libero e il coefficiente positivo è il più piccolo.

Osservazione 1. Se, nel processo di eliminazione delle incognite, appare un'equazione in cui tutti i coefficienti sono non positivi e il termine libero
, allora il sistema non ha soluzioni non negative.

Osservazione 2. Se non c'è un solo elemento positivo nelle colonne dei coefficienti per le variabili libere, il passaggio a un'altra soluzione di riferimento è impossibile.

Esempio.

Metodo matriciale Soluzioni SLAU utilizzato per risolvere sistemi di equazioni in cui il numero di equazioni corrisponde al numero di incognite. Il metodo è utilizzato al meglio per risolvere sistemi di ordine basso. Il metodo matriciale per risolvere sistemi di equazioni lineari si basa sull'applicazione delle proprietà della moltiplicazione matriciale.

In questo modo, in altre parole metodo della matrice inversa, chiamato così, poiché la soluzione è ridotta alla solita equazione matriciale, per la cui soluzione è necessario trovare la matrice inversa.

Metodo di soluzione matriciale Uno SLAE con un determinante maggiore o minore di zero è il seguente:

Supponiamo che ci sia un SLE (sistema di equazioni lineari) con N sconosciuto (su un campo arbitrario):

Quindi, è facile tradurlo in una forma matriciale:

AS=B, Dove UNè la matrice principale del sistema, B E X- colonne di membri liberi e soluzioni del sistema, rispettivamente:

Moltiplica questa equazione di matrice a sinistra per UN -1- inversa da matrice a matrice LA: LA −1 (AX)=LA −1 B.

Perché LA −1 LA=E, Significa, X=LA−1 SI. Il lato destro dell'equazione fornisce una colonna di soluzioni al sistema iniziale. La condizione per l'applicabilità del metodo matriciale è la non degenerazione della matrice UN. Condizione necessaria e sufficiente per questo è che il determinante della matrice UN:

detA≠0.

Per sistema omogeneo di equazioni lineari, cioè. se vettore B=0, vale la regola opposta: il sistema AS=0è una soluzione non banale (cioè non uguale a zero) solo quando detA=0. Viene chiamata questa connessione tra le soluzioni di sistemi omogenei e disomogenei di equazioni lineari alternativa a Fredholm.

Pertanto, la soluzione dello SLAE con il metodo della matrice viene effettuata secondo la formula . Oppure, la soluzione SLAE viene trovata utilizzando matrice inversa UN -1.

È noto che una matrice quadrata UN ordine N SU N esiste una matrice inversa UN -1 solo se il suo determinante è diverso da zero. Così il sistema N equazioni algebriche lineari con N le incognite vengono risolte con il metodo matriciale solo se il determinante della matrice principale del sistema non è uguale a zero.

Nonostante vi siano limitazioni alla possibilità di utilizzare tale metodo e vi siano difficoltà computazionali per valori elevati dei coefficienti e sistemi di ordine elevato, il metodo può essere facilmente implementato su un computer.

Un esempio di risoluzione di uno SLAE disomogeneo.

Innanzitutto, controlliamo se il determinante della matrice dei coefficienti per SLAE sconosciuti non è uguale a zero.

Ora troviamo matrice di alleanze, trasponilo e sostituiscilo nella formula per determinare la matrice inversa.

Sostituiamo le variabili nella formula:

Ora troviamo le incognite moltiplicando la matrice inversa e la colonna dei termini liberi.

COSÌ, x=2; y=1; z=4.

Quando si passa dalla forma abituale di SLAE alla forma matriciale, prestare attenzione all'ordine delle variabili sconosciute nelle equazioni del sistema. Per esempio:

NON scrivere come:

È necessario, prima, ordinare le variabili incognite in ciascuna equazione del sistema e solo successivamente procedere alla notazione matriciale:

Inoltre, devi stare attento con la designazione di variabili sconosciute, invece di x 1 , x 2 , …, x n potrebbero esserci altre lettere. Per esempio:

in forma matriciale scriviamo:

Utilizzando il metodo matriciale, è preferibile risolvere sistemi di equazioni lineari in cui il numero di equazioni coincide con il numero di variabili incognite e il determinante della matrice principale del sistema non è uguale a zero. Quando ci sono più di 3 equazioni nel sistema, ci vorrà più sforzo computazionale per trovare la matrice inversa, quindi, in questo caso, è consigliabile utilizzare il metodo di Gauss per risolvere.

Il metodo gaussiano presenta una serie di svantaggi: è impossibile sapere se il sistema è consistente o meno finché non sono state effettuate tutte le trasformazioni necessarie nel metodo gaussiano; il metodo gaussiano non è adatto per sistemi con coefficienti di lettere.

Considera altri metodi per risolvere sistemi di equazioni lineari. Questi metodi utilizzano il concetto di rango di una matrice e riducono la soluzione di qualsiasi sistema di giunti alla soluzione di un sistema a cui si applica la regola di Cramer.

Esempio 1 Trova la soluzione generale del seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo ridotto e una soluzione particolare del sistema disomogeneo.

1. Facciamo una matrice UN e la matrice aumentata del sistema (1)

2. Esplora il sistema (1) per compatibilità. Per fare questo, troviamo i ranghi delle matrici UN e https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Se risulta che , allora il sistema (1) incompatibile. Se lo capiamo , allora questo sistema è coerente e lo risolveremo. (Lo studio di consistenza si basa sul teorema di Kronecker-Capelli).

UN. Noi troviamo RA.

Trovare RA, considereremo successivamente minori diversi da zero del primo, secondo, ecc. ordine della matrice UN e i minori che li circondano.

M1=1≠0 (1 è preso dall'angolo in alto a sinistra della matrice UN).

Confinante M1 la seconda riga e la seconda colonna di questa matrice. . Continuiamo a confinare M1 la seconda riga e la terza colonna..gif" width="37" height="20 src=">. Ora limitiamo il minore diverso da zero MI2' secondo ordine.

Abbiamo: (perché le prime due colonne sono uguali)

(perché la seconda e la terza riga sono proporzionali).

Lo vediamo rA=2, ed è la base minore della matrice UN.

B. Noi troviamo .

Minore sufficientemente elementare MI2' matrici UN bordo con una colonna di membri liberi e tutte le righe (abbiamo solo l'ultima riga).

. Ne consegue che MI3'' rimane la base minore della matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Perché MI2'- base minore della matrice UN sistemi (2) , allora questo sistema è equivalente al sistema (3) , costituito dalle prime due equazioni del sistema (2) (per MI2'è nelle prime due righe della matrice A).

(3)

Poiché il minore di base è https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

In questo sistema, due incognite libere ( x2 E x4 ). Ecco perché FSR sistemi (4) si compone di due soluzioni. Per trovarli, assegniamo sconosciuti gratuiti a (4) prima i valori x2=1 , x4=0 , poi - x2=0 , x4=1 .

A x2=1 , x4=0 noi abbiamo:

Questo sistema ha già l'unica cosa soluzione (può essere trovata con la regola di Cramer o con qualsiasi altro metodo). Sottraendo la prima equazione dalla seconda equazione, otteniamo:

La sua decisione sarà x1= -1 , x3=0 . Dati i valori x2 E x4 , che abbiamo dato, otteniamo la prima soluzione fondamentale del sistema (2) : .

Ora ci mettiamo (4) x2=0 , x4=1 . Noi abbiamo:

Risolviamo questo sistema usando il teorema di Cramer:

Otteniamo la seconda soluzione fondamentale del sistema (2) : .

Soluzioni beta1 , beta2 e trucco FSR sistemi (2) . Quindi la sua soluzione generale sarà

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Qui C1 , C2 sono costanti arbitrarie.

4. Trovane uno privato soluzione sistema eterogeneo(1) . Come al paragrafo 3 , invece del sistema (1) considerare il sistema equivalente (5) , costituito dalle prime due equazioni del sistema (1) .

(5)

Trasferiamo le incognite libere sul lato destro x2 E x4.

(6)

Diamo incognite gratis x2 E x4 valori arbitrari, ad esempio, x2=2 , x4=1 e collegarli (6) . Prendiamo il sistema

Questo sistema ha una soluzione unica (perché il suo determinante M2'0). Risolvendolo (usando il teorema di Cramer o il metodo di Gauss), otteniamo x1=3 , x3=3 . Dati i valori delle incognite libere x2 E x4 , noi abbiamo soluzione particolare di un sistema disomogeneo(1)α1=(3,2,3,1).

5. Ora resta da scrivere soluzione generale α di un sistema disomogeneo(1) : è uguale alla somma decisione privata questo sistema e soluzione generale del suo sistema omogeneo ridotto (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Questo significa: (7)

6. Visita medica. Per verificare se hai risolto correttamente il sistema (1) , abbiamo bisogno di una soluzione generale (7) sostituire in (1) . Se ogni equazione diventa un'identità ( C1 E C2 dovrebbe essere distrutto), allora la soluzione viene trovata correttamente.

Sostituiremo (7) per esempio, solo nell'ultima equazione del sistema (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Si ottiene: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Dove -1=-1. Abbiamo un'identità. Lo facciamo con tutte le altre equazioni del sistema (1) .

Commento. La verifica è di solito piuttosto ingombrante. Possiamo consigliare la seguente "verifica parziale": nella soluzione complessiva del sistema (1) assegnare alcuni valori a costanti arbitrarie e sostituire la soluzione particolare risultante solo nelle equazioni scartate (cioè in quelle equazioni da (1) che non sono inclusi in (5) ). Se ottieni identità, allora più probabilmente, soluzione del sistema (1) trovato correttamente (ma un tale controllo non dà piena garanzia di correttezza!). Ad esempio, se dentro (7) Mettere DO2=- 1 , C1=1, allora otteniamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Sostituendo nell'ultima equazione del sistema (1), si ha: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , cioè –1=–1. Abbiamo un'identità.

Esempio 2 Trova una soluzione generale a un sistema di equazioni lineari (1) , esprimendo le principali incognite in termini di libere.

Soluzione. Come in Esempio 1, comporre matrici UN e https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> di queste matrici. Ora lasciamo solo quelle equazioni del sistema (1) , i cui coefficienti sono inclusi in questo minore di base (cioè, abbiamo le prime due equazioni) e consideriamo il sistema costituito da essi, che è equivalente al sistema (1).

Trasferiamo le incognite libere ai membri di destra di queste equazioni.

sistema (9) risolviamo con il metodo gaussiano, considerando le parti giuste come membri liberi.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">