– Allora sentiti libero di continuare a leggere! Perché sarà molto interessante: oggi assisteremo a una vera rivoluzione nel mondo dei vettori! Tali eventi epocali non si verificano tutti i giorni, e quindi non sorprende che i compiti transizione verso una nuova base E passaggio a un nuovo sistema di coordinate molto meno comune nella pratica. Tuttavia, questo è esattamente l'argomento che causa più confusione e incomprensioni tra gli studenti. La questione è ulteriormente complicata dal fatto che diverse fonti di informazione utilizzano schemi diversi per presentare materiale e designazioni diverse.
Ma ora è il momento di confonderti finalmente "punta tutti i" e la disposizione di questi punti inizia con un caso "piatto". A proposito, mi sono subito ricordato della lettera di cui avevo bisogno. Considera il solito Ortonormale base e due vettori sperimentali:
O: 
.
Come ben sai, anche qualsiasi altro vettore piano può essere scomposto in vettori di base: 
(e solo in un modo) e scrivi i coefficienti di questa espansione (coordinate) tra parentesi:
E tutto sarebbe tranquillo e calmo, ma la vita pacifica dei vettori è disturbata dall'apparizione di un'altra base .... Perché appare? Ciò è necessario in una serie di problemi di matematica superiore. E non solo matematica.
Qualsiasi coppia di vettori non allineati può essere presa come base dimostrativa, ma per comodità di spiegazione considererò quanto segue ortogonale base:
Nota che la nuova base non è ortonormale: le lunghezze dei suoi vettori sono diverse da una:
Probabilmente tutti comprendono gli eventi che si stanno verificando: quando il potere cambia, tutti si adattano a questo potere. Pertanto, il nostro compito è trovare le espansioni gli stessi vettori su una NUOVA base.
L'illustrazione mostra chiaramente i risultati finali:
, cioè queste sono le coordinate del vettore "a" nella base ; 
e - sono le coordinate del vettore "essere" nella nuova base.
Nota : si noti che le "unità convenzionali" della nuova base in evolte maggiore dell'unità della base originaria.
Ma tutto è chiaramente visibile solo perché ho raccolto basi semplici e vettori convenienti, e quindi dobbiamo studiare metodo analitico passaggio da una base all'altra. È ovvio che per l'attuazione di tale transizione è necessario collegare in qualche modo i vettori della vecchia e della nuova base. La prima cosa che viene in mente è espandere i vettori del "nuovo potere" in termini di base:
... se non capisci da dove vengono tutte queste espansioni, studia / ripeti urgentemente la "scuola" azioni con vettori!
I coefficienti delle espansioni richiedono di essere scritti matrice: . O così: . ... Ci stiamo muovendo nella giusta direzione, compagni! Entrambe queste matrici sono chiamate matrice di transizione da base a base. Per motivi tecnici, la seconda opzione è più comune, quando i coefficienti sono "impilati" in colonne.
Ma serve a poco una bella notazione, e ora dobbiamo capire come le coordinate di un vettore arbitrario sono correlate tra loro nella vecchia base con le relative coordinate in una nuova base
.
! I colpi qui non hanno niente a che fare con derivato!
Per risolvere il nostro problema, sostituiamo gli sviluppi nella seconda uguaglianza, apriamo le parentesi e raggruppiamo i termini:
Così, da un lato, abbiamo a nostra disposizione la vecchia decomposizione, ma dall'altro abbiamo ottenuto . Poiché l'espansione di un vettore in termini di base soltanto, allora valgono le seguenti uguaglianze:
Con l'aiuto delle relazioni ottenute, si possono trovare le VECCHIE coordinate se si conoscono quelle nuove.
Scriviamo le formule nella forma più semplice equazione matriciale:
ed esegui un controllo testando i nostri vettori sperimentali "a" e "be": 
Che è quello che doveva essere controllato. Spero che nessuno abbia problemi con moltiplicazione di matrici. Sebbene, in caso di fraintendimenti di emergenza, puoi sempre sostituire nuove coordinate in uguaglianze e ottenere gli stessi risultati.
Va tutto bene, tutto è corretto, ma abbiamo bisogno del contrario: ottenerne di nuove dalle vecchie coordinate. Diamo un'occhiata al nostro equazione matriciale 
…. Al suo centro c'è una matrice con le coordinate dei vettori , che sono scritte in colonne. E, denotando 
, riscriviamo l'equazione in forma compatta:
Per esprimere le nuove coordinate in termini di quelle vecchie, moltiplicare entrambi i lati per a sinistra:
Di conseguenza, la situazione è stata risolta nel modo più favorevole:
Consideriamo due sistemi di coordinate affini del piano: . Chiamiamo il primo sistema dalla vecchia memoria vecchio, il secondo - nuovo, e, come al solito, scriviamo la scomposizione tradizionale:
Senza approfondire il ragionamento del libro, fornirò immediatamente formule già pronte che ti consentono di scoprire le vecchie coordinate di un punto arbitrario nel piano, se le sue nuove coordinate sono note: 
, dove sono le coordinate del punto nel vecchio sistema di coordinate.
Queste uguaglianze sono chiamate formule di trasformazione del sistema di coordinate affini e la matrice familiare è facilmente visibile in essi.
Torniamo alle nostre amate basi =), sulla base delle quali costruiremo due sistemi di coordinate: 
. Come origine del nuovo sistema di coordinate, sceglierò un punto 
:
Ora "impacchettamo" i coefficienti di espansione nelle "colonne" delle formule 
:
I punti sperimentali sono di nuovo blu e soffici =) Inclina la testa di 45 gradi a sinistra e assicurati che sia dentro sistema di coordinate "arancione". point ha coordinate e point ha coordinate (linee tratteggiate marroni). Calcoliamo le coordinate di questi punti nella base originale: 
Che è ciò di cui hai bisogno per assicurarti.
Tuttavia, anche qui tutto è "al contrario" - dopotutto, nella stragrande maggioranza dei casi, le nuove coordinate non ci sono note. Il prossimo è un modello di azione familiare. Scriviamo le formule 
COME equazione matriciale:
o, più compattamente:
E usando trasformazioni standard, esprimiamo la colonna di nuove coordinate: 
, dove sono le coordinate del punto in una nuova base. Questa colonna viene calcolata utilizzando la formula .
Nel nostro esempio, la matrice inversa è già stata trovata nel paragrafo precedente 
e resta solo da scoprire questa colonna: 
Per favore inclina di nuovo la testa a sinistra e assicurati nel nuovo ("arancia") nel sistema di coordinate, il punto ha esattamente le coordinate .
Scriviamo l'equazione della matrice di lavoro 
e calcola le coordinate dei punti nel nuovo sistema di coordinate: 
Le formule considerate funzionano per sistemi affini arbitrari del piano, tuttavia, in problemi pratici, la transizione da sistema di coordinate cartesiane rettangolari ad un altro Sistema cartesiano. Ma prima di procedere allo studio di questo caso particolare, ti parlerò di ciò di cui molti hanno sentito parlare, ma erano imbarazzati a chiedere :))
Orientamento aereo
Un piano può avere due orientamenti. Sinistra. E giusto. Il primo orientamento è impostato base sinistra e di conseguenza, Sinistra sistema di coordinate, il secondo - rispettivamente, base orientata a destra E Giusto sistema.
Secondo la tradizione consolidata, capiremo sulle dita: alza i palmi e premi tutte le dita contro di loro, tranne indice E grande. Ora allinea dita indice. pollici allo stesso tempo sarà localizzato su lati opposti. Al contrario: combina pollici- quindi le dita saranno sui lati opposti di esse indice. Questo è un segno che le basi simboliche ei sistemi di coordinate da esse generati hanno orientamenti diversi.
Se pollice simboleggia Vettore di 1a base, UN indice – Vettore di seconda base (palmi in su), quindi si considera la base della mano destra orientato a destra, e la base della mano sinistra - Mancino.
Quindi, ad esempio, il nostro sistema di coordinate "scuola" è Giusto. Come assicurarsi? Allineare pollice mano destra con il vettore (vettore di prima base). Quindi il dito indice guarderà verso il vettore, e questo è un segno che la base orientato a destra.
In generale, il concetto in esame caratterizza con successo simmetria assiale (a specchio)., che cambia l'orientamento del piano. Rappresentiamo il nostro fratello minore in un sistema rettangolare e visualizziamolo simmetricamente attorno all'asse y: 
È abbastanza chiaro che non importa come ti muovi, non importa come giri le immagini, non sarai in grado di combinarle. Questo è l'effetto del diverso orientamento. Si noti che anche il primo vettore di coordinate è stato riflesso e Sinistra sistema impostato Sinistra orientamento del piano: l'asse delle coordinate "ruotava" nella direzione opposta e i valori positivi iniziarono a essere contati da destra a sinistra. E, a proposito, niente ti impedisce di contare proprio così! Ma qui è improbabile che ci capiscano - non per niente l'orientamento è stato chiamato a sinistra =) Anche se puramente "tecnicamente" non è peggio.
Se Tuzik viene visualizzato simmetricamente attorno all'asse, ne otteniamo un altro Sinistra un sistema in cui il vettore unitario punta verso il basso.
Mutuo orientamento di due basi (e quindi l'orientamento reciproco dei sistemi di coordinate da essi generati) si può stabilire analiticamente: se determinante matrici di transizione da una base all'altra maggiore di zero, allora le basi sono orientate allo stesso modo (entrambi a sinistra o entrambi a destra), altrimenti hanno un orientamento diverso. Quindi, nell'esempio demo della nostra lezione, significa che le basi sono orientate allo stesso modo. E poiché viene considerata la base "scuola". Giusto, poi anche Giusto(tuttavia, questo è già ovvio). Nell'attività 1 (punto 2) il determinante della matrice di transizione è negativo: quindi le basi 
definire diversi orientamenti dello spazio tridimensionale. Questo concetto può essere trovato nell'articolo su prodotto vettoriale di vettori, bene, ora è il momento di tornare al mainstream della lezione:
Trasformazione dei sistemi di coordinate rettangolari
In pratica, molto spesso è necessario effettuare il passaggio da uno Giusto sistema di coordinate cartesiane a un altro Giusto Sistema cartesiano, nel qual caso le formule generali di trasformazione delle coordinate assumono la seguente forma:
, dove è l'angolo tra i primi vettori di coordinate (non importa se positivo o negativo).
Queste formule sono utilizzate in particolare nel corso di riduzione dell'equazione della riga del 2° ordine alla forma canonica. E, nonostante esprimano le vecchie coordinate del punto in termini di nuove, si chiamano le uguaglianze formule di transizione dal vecchio sistema di coordinate a un nuovo. La spiegazione è semplice: se in qualsiasi equazione invece di "x" e "y" sostituiamo le parti giuste di queste uguaglianze, allora, in effetti, verrà eseguita proprio una tale transizione.
Nel caso in cui il nuovo sistema di coordinate sia costruito sulla stessa base vettori: , allora stiamo parlando solo del trasferimento parallelo dell'origine, e le formule sono completamente semplificate:
Lasciamo, per esempio, 
- un nuovo inizio: 
Quindi le vecchie coordinate del punto possono essere facilmente ottenute da quelle nuove: 
,
e nuovi da quelli vecchi: 
Il secondo caso particolare è la rotazione degli assi mantenendo l'origine: 
Dalla nuova origine 
coincide con quello vecchio, quindi i membri liberi scompaiono nelle formule di trasformazione delle coordinate: 
Sia dato un sistema di vettori ( UN 1 , UN 2 , …, UN K) dello spazio lineare L e le coordinate di questi vettori sono note in qualche base B:
UN 1 = (UN 11 , UN 21 , …, una pag 1),
UN 2 = (UN 12 , UN 22 , …, una pag 2),
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
UNK= (UN 1 K, UN 2K , …, un pacco).
Considera la matrice di questo sistema di vettori, ad es. una matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori del sistema in una data base:
Si scopre che usando il rango della matrice di un sistema di vettori, si può concludere che questi vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti. Vale a dire, vale il seguente teorema.
Teorema 3
In modo da K vettori P spazio lineare dimensionale sono linearmente indipendenti, è necessario e sufficiente che il rango della matrice di questo sistema sia uguale a K.
Come già notato, le coordinate del vettore dipendono dalla base scelta. Considera due basi B 1:( UN
1 , UN
2 , …, UN
P) e B2:( 
) dello spazio lineare L. Poiché i vettori sono i vettori dello stesso spazio lineare L, allora i vettori della base B 2 possono essere espansi nella base B 1 . Lascia che queste espansioni abbiano la forma
Dove 
Definizione 3
Viene chiamata la matrice di vettori della base B 2 nella base B 1 matrice di transizione dalla base B 1 alla base B 2 ed è indicato o semplicemente T.
. (2.2)
La matrice di transizione da una base all'altra è quadrato non degenere matrice.
Considera un vettore arbitrario X spazi lineari L. Siano note le coordinate di questo vettore nella base B 1 e nella base B 2:
X 
, X
.
Indichiamo le corrispondenti colonne di coordinate e . Poi ci sono formule di trasformazione delle coordinate:
E = × ,
o in forma matriciale
X = ×X , X = ×X.
Lezioni frontali 17 Lo spazio euclideo
Considera uno spazio lineare L. Oltre alle operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero, introduciamo un'altra operazione in questo spazio, l'operazione di moltiplicazione scalare.
Definizione 1
Se ogni coppia di vettori UN , B í L, secondo qualche regola, associa un numero reale, indicato dal simbolo ( UN , B ) e soddisfacendo le condizioni
1. (UN , B ) = (B ,UN ),
2. (UN + Con , B ) = (UN , B ) + (Con , B ),
3. (a UN , B ) = un( UN , B )
4. > 0 " UN ¹ 0 u = 0Û UN = 0 ,
quindi viene chiamata questa regola moltiplicazione scalare e il numero ( UN , B ) è chiamato prodotto scalare vettore UN per vettore B .
Il numero è chiamato quadrato scalare vettore UN e denotare , cioè .
Vengono richiamate le condizioni 1) - 4). proprietà del prodotto scalare: il primo è una proprietà simmetria(commutatività), la seconda e la terza proprietà linearità, il quarto - determinatezza positiva, e la condizione w è detta condizione non degenerazione prodotto scalare.
Definizione 2
spazio euclideoè uno spazio lineare reale su cui si introduce l'operazione di moltiplicazione scalare di vettori.
Lo spazio euclideo è indicato con E.
Vengono richiamate le proprietà 1) - 4) del prodotto scalare assiomi spazio euclideo.
Considera esempi di spazi euclidei.
· Gli spazi V 2 e V 3 sono spazi euclidei, perché su di essi, il prodotto scalare che soddisfa tutti gli assiomi è stato definito come segue
Nello spazio lineare R P(X) polinomi di grado al massimo P moltiplicazione scalare di vettori e può essere introdotto dalla formula
Verifichiamo l'implementazione delle proprietà del prodotto scalare per l'operazione introdotta.
2) Considera . Lascia allora
4). Ma la somma dei quadrati di qualsiasi numero è sempre maggiore o uguale a zero, ed è uguale a zero se e solo se tutti questi numeri sono uguali a zero. Quindi, 
, se il polinomio non è identicamente uguale a zero (cioè, ci sono coefficienti diversi da zero tra i suoi coefficienti) e 
Û quando , che significa .
Pertanto, tutte le proprietà del prodotto scalare sono soddisfatte, il che significa che l'uguaglianza definisce la moltiplicazione scalare dei vettori nello spazio R P(X), e questo spazio stesso è euclideo.
Nello spazio lineare R N moltiplicazione dei punti vettoriali 
per vettore 
può essere determinato dalla formula
Dimostriamolo in ogni spazio lineare la moltiplicazione scalare può essere definita, cioè qualsiasi spazio lineare può essere trasformato in uno spazio euclideo. Per fare ciò, prendi lo spazio L N base arbitraria ( UN 1 , UN 2 , …, UN P). Lascia entrare questa base
UN= un 1 UN 1 + a2 UN 2 + …+ a PUN P E B = b1 UN 1 + b2 UN 2 + …+ b PUN P.
(UN , B ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a P B P. (*)
Controlliamo l'implementazione delle proprietà del prodotto scalare:
1) (UN , B ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a P B P= b 1 un 1 + b 2 un 2 + …+b P UN P= (B , UN ),
2) Se , allora
Poi
(UN+ Con , B ) =
= (UN , B ) + (Con , B ).
3. (l UN , B ) = (la 1)b 1 + (la 2)b 2 + …+ (la P)B P= la 1 b 1 + la 2 b 2 + …+ la P B P =
L(a 1 b 1) + l(a 2 b 2) + …+ l(a P B P) = io ( UN , B ).
4. " UN ¹ 0 e se e solo se tutto a io= 0, cioè UN = 0 .
Pertanto, l'uguaglianza ( UN , B ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a P B P definisce in L N prodotto scalare.
Si noti che l'uguaglianza considerata ( UN , B ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a P B P per diverse basi spaziali fornisce valori diversi del prodotto scalare degli stessi vettori UN E B . Inoltre, il prodotto scalare può essere definito in qualche modo fondamentalmente diverso. Pertanto, chiameremo il compito del prodotto scalare utilizzando l'uguaglianza (*) tradizionale.
Definizione 3
Norma vettore UN il valore aritmetico della radice quadrata del quadrato scalare di questo vettore.
La norma di un vettore si indica con || UN ||, o [ UN ], o | un | . Allora, la definizione
||UN || .
Valgono le seguenti proprietà della norma:
1. ||UN || = 0 Û UN =0 .
2. ||a UN ||= |a|.|| UN || "un O.
3. |(UN , B )| £ || UN ||.||B || (la disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovsky).
4. ||UN +B || £ || UN || + ||B || (disuguaglianza triangolare).
Negli spazi euclidei V 2 e V 3 con la moltiplicazione scalare tradizionalmente specificata, la norma del vettore ` UNè la sua lunghezza
||`UN|| = |`UN|.
Nello spazio euclideo R N con norma del vettore di moltiplicazione scalare è uguale a
||UN
|| = 
.
Definizione 4
Vettore UN Si chiama spazio euclideo normalizzato (O separare) se la sua norma è uguale a uno: || UN || = 1.
Se UN ¹ 0 , quindi i vettori e sono vettori unitari. Trovare per un dato vettore UN viene chiamato il corrispondente vettore unitario (o ). razionamento vettore UN .
Ne consegue dalla disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovsky che
Dove 
,
quindi il rapporto può essere pensato come il coseno di un angolo.
Definizione 5
Angolo j (0 £ j
Quindi, l'angolo tra i vettori UN E B Lo spazio euclideo è definito dalla formula
j = = archi .
Si noti che l'introduzione della moltiplicazione scalare nello spazio lineare rende possibile effettuare in questo spazio "misure" simili a quelle che sono possibili nello spazio dei vettori geometrici, vale a dire, la misurazione delle "lunghezze" dei vettori e degli "angoli" tra vettori , mentre la scelta della forma per specificare la moltiplicazione scalare è analoga alla scelta di una "scala" per tali misurazioni. Ciò consente di estendere i metodi della geometria associati alle misurazioni a spazi lineari arbitrari, rafforzando così in modo significativo i mezzi di studio degli oggetti matematici incontrati nell'algebra e nell'analisi.
Definizione 6
Vettori UN E B Si chiamano spazi euclidei ortogonale , se il loro prodotto scalare è zero:
Si noti che se almeno uno dei vettori è zero, l'uguaglianza vale. Infatti, da allora il vettore zero può essere rappresentato come 0 = 0.UN , Quello ( 0 , B ) = (0.UN , B ) = 0.(UN , B ) = 0. Pertanto, il vettore zero è ortogonale a qualsiasi vettore spazio euclideo.
Definizione 7
Sistema vettoriale UN 1 , UN 2 , …, UN T Si chiama spazio euclideo ortogonale , se questi vettori sono ortogonali a coppie, cioè
(UN io, UN J) = 0 "io¹ J, io,J=1,2,…,M.
Sistema vettoriale UN 1 , UN 2 , …, UN T Si chiama spazio euclideo Ortonormale (O Ortonormale ) se è ortogonale e ciascuno dei suoi vettori è normalizzato, cioè
(UN
io, UN
J) = 
, io,J= 1,2, …, M.
Un sistema ortogonale di vettori ha le seguenti proprietà:
1. Se 
è un sistema ortogonale di vettori diversi da zero, allora il sistema 
ottenuto normalizzando ciascuno dei vettori di questo sistema è anch'esso ortogonale.
2. Un sistema ortogonale di vettori diversi da zero è linearmente indipendente.
Se un sistema di vettori ortogonale, e quindi ortonormale, è linearmente indipendente, allora un tale sistema può formare una base di un dato spazio? A questa domanda risponde il seguente teorema.
Teorema 3
In ogni P- spazio euclideo dimensionale ( ) esiste una base ortonormale.
Prova
Dimostrare un teorema significa Trovare questa base. Pertanto, procederemo come segue.
In un dato spazio euclideo, consideriamo una base arbitraria ( UN 1 , UN 2 , …, UN N), ne costruiamo una base ortogonale ( G 1 , G 2 , …, G N), e poi normalizziamo i vettori di questa base, cioè permettere . Allora il sistema di vettori ( e 1 , e 2 ,…, e N) costituisce una base ortonormale.
Quindi lascia B :( UN 1 , UN 2 , …, UN N) è una base arbitraria dello spazio considerato.
1. Mettiamo
G 1 = UN 1 ,G 2 = UN 2 + G 1
e scegli il coefficiente in modo che il vettore G 2 era ortogonale al vettore G 1, cioè ( G 1 , G 2) = 0. Poiché
,
quindi dall'uguaglianza 
trova = - .
Poi il vettore G 2 = UN 2 – G 1 ortogonale al vettore G 1 .
G 3 = UN 3 + G 1 + G 2 ,
e scegli e in modo che il vettore G 3 era ortogonale e G 2, e G 3, cioè ( G 1 , G 3) = 0 e ( G 2 , G 3) = 0. Trova
Quindi dalle uguaglianze 
E 
troviamo di conseguenza 
E 
.
Quindi il vettore G 3 = UN 3 –` G 1 – G 2 ortogonale ai vettori G 1 e G 2 .
Allo stesso modo, costruiamo il vettore
G 4 = UN 4 –` G 1 – G 2 – G 3 .
È facile verificare che ( G 1 , G 4) = 0, (G 2 , G 4) = 0, (G 3 , G 4) = 0.
GP = UN P – G 1 – G 2 – … – G P –1 ,
Ci sono due basi nello spazio R: la vecchia e l , e 2 ,...e n e la nuova e l * , e 2 * ,...e n * . Qualsiasi nuovo vettore di base può essere rappresentato come una combinazione lineare dei vecchi vettori di base:
È possibile specificare il passaggio dalla vecchia base alla nuova matrice di transizione
Si noti che i coefficienti di moltiplicazione dei nuovi vettori di base secondo la vecchia base formano colonne, non righe, di questa matrice.
La matrice A è non singolare, poiché altrimenti le sue colonne (e quindi i vettori di base) sarebbero linearmente dipendenti. Pertanto, ha una matrice inversa A -1 .
Sia il vettore X avere coordinate (x l , x 2 ,... x n) relative alla vecchia base e coordinate (x l * , x 2 * ,... x n *) relative alla nuova base, cioè X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n \u003d x l * e l * + x 2 * e 2 * + ... + x n * e n * .
Sostituisci in questa equazione i valori e l * , e 2 * ,...e n * del sistema precedente:
x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * (a 11 e l + a 12 e 2 + ... + a 1n e n) + x 2 * (a 21 e l + a 22 e 2 + ... + + a 2n e n) +...+ x n * (a n1 e l + a n2 e 2 + … + a nn e n)
0 \u003d e l (x l * a 11 + x 2 * a 21 + ... + x n * a n1 - x l) + e 2 (x l * a 12 + x 2 * a 22 + ... + x n * a n2 - x 2) + + ... + e n (x l * a 1n + x 2 * a 2n + ... + x n * a nn - x n)
A causa dell'indipendenza lineare dei vettori e l , e 2 ,...en tutti i coefficienti loro associati nell'ultima equazione devono essere uguali a zero. Da qui:
o in forma matriciale
Moltiplicando entrambe le parti per A -1, otteniamo:
Ad esempio, siano dati nella base e l , e 2 , e 3 vettori e 1 = (1, 1, 0), e 2 = (1, -1, 1), e 3 = (-3, 5, - 6) e b = (4; -4; 5). Mostra che anche i vettori a l , a 2 e 3 formano una base ed esprimono il vettore b in questa base.
Mostriamo che i vettori a l , a 2 e 3 sono linearmente indipendenti. Per fare ciò, assicurati che il rango della matrice composta da essi sia uguale a tre:
Si noti che la matrice originaria non è altro che la matrice di transizione A. Infatti, la relazione tra le basi e l , e 2 , e 3 e al , a 2 , a 3 può essere espressa dal sistema:
Calcola A -1 .
= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4
Cioè, nella base a l, a 2, a 3 vettore b = (0.5; 2; -0.5).
Operatori lineari
Operatore lineare (trasformazione, mappatura) Uno spazio vettoriale n-dimensionale è chiamato la regola Y=f(X), secondo la quale ogni vettore X è associato a un singolo vettore Y, e le operazioni lineari sui vettori sono preservate, cioè si svolgono le proprietà:
1) f(X+Z) =f(X) +f(Z) - proprietà di additività dell'operatore;
2) f(X) =f(X) - proprietà di omogeneità dell'operatore.
Si può dimostrare che ogni operatore lineare corrisponde a una matrice quadrata nella base data. È vero anche il contrario: qualsiasi matrice di ordine n-esimo corrisponde a un operatore lineare in uno spazio n-dimensionale.
Pertanto, una trasformazione lineare può essere definita diversamente: un operatore lineare di uno spazio vettoriale n-dimensionale dato da una matrice quadrata A è una trasformazione che associa un qualsiasi vettore X scritto come matrice colonna al vettore A(X) = A*X = 
.
Viene chiamata la matrice A matrice di operatori nella base data, e il rango di questa matrice è rango operatore.
Ad esempio, se l'operatore lineare è dato dalla matrice 
, allora la mappatura Y del vettore X = (4, -3, 1) sarà uguale a
.
Si noti che la matrice identità definisce la trasformazione dell'identità ( operatore di identità) perché moltiplicandolo per un vettore otteniamo lo stesso vettore.
La matrice zero è definita come operatore nullo, trasformando tutti i vettori spaziali in zero vettori.
È facile vedere che una matrice diagonale con lo stesso numero sulla sua diagonale definisce un operatore per moltiplicare un vettore per questo numero.
Teorema. Le matrici A e A * dello stesso operatore lineare nelle basi e l , e 2 ,...e n e e l * , e 2 * ,...e n * sono legate dalla relazione A * = C -1 AC, dove C è la matrice di transizione dalla vecchia base alla nuova.
Prova. Indichiamo con Y la mappatura del vettore X nella base ee l , e 2 ,...e n , e gli stessi vettori nella base e l * , e 2 * ,...e n * denotiamo X * e Y * . Poiché C è una matrice di transizione, possiamo scrivere:
Moltiplica a sinistra entrambi i lati della prima uguaglianza per la matrice A:
Poiché AX \u003d Y, otteniamo Y \u003d ACX * , ad es. CY * = ACX * . Moltiplicando entrambe le parti dell'ultima uguaglianza per C -1, otteniamo:
DO -1 CY * = DO -1 ACX *
Y * \u003d C -1 ACX *.
Poiché Y * \u003d A * X *, A * \u003d C -1 AC, che era ciò che doveva essere dimostrato.
Ad esempio, poniamo in base e l , e 2 la matrice dell'operatore A =. Trova la matrice di questo operatore nella base e l * = e l -2e 2 , e 2 * = 2el + e 2 .
Per fare ciò costruiamo la matrice di transizione С = e la sua matrice inversa С -1 .|C|= 5,, 
. Poi
Golovizin V.V. Lezioni di Algebra e Geometria. Conferenza 24.6
Lezioni di Algebra e Geometria. Semestre 2.
Lezione 24. La matrice di transizione e sue proprietà.
Riassunto: spazio vettoriale a dimensione finita e esistenza della sua base, addizione alla base, decomposizione di un vettore in una base, coordinate di un vettore rispetto a una base, operazioni con vettori in forma coordinata, isomorfismo di uno spazio vettoriale e spazio delle colonne, matrice di transizione da una base all'altra, cambiamento delle coordinate del vettore quando si cambia la base, proprietà della matrice di transizione.
punto 1. Esistenza di una base in spazio vettoriale.
Definizione. Uno spazio vettoriale è detto di dimensione finita se ha un sistema di vettori di generazione finito.
Commento. Studieremo solo spazi vettoriali a dimensione finita. Nonostante sappiamo già molto sulla base di uno spazio vettoriale a dimensione finita, non siamo affatto sicuri che tale base esista. Tutte le proprietà ottenute in precedenza sono state ottenute assumendo che la base esista. Il seguente teorema chiude la questione.
Teorema. (Sull'esistenza di una base per uno spazio vettoriale a dimensione finita.)
Qualsiasi spazio vettoriale a dimensione finita ha una base.
Prova. Per ipotesi, esiste un sistema di generazione finito di vettori di un dato spazio vettoriale di dimensione finita V: 
.
Notiamo subito che se il sistema generatore di vettori è vuoto, cioè non contiene alcun vettore, allora per definizione si presume che lo spazio vettoriale dato sia nullo, cioè 
. In questo caso, per definizione, si assume che la base dello spazio vettoriale nullo sia una base vuota, e la sua dimensione, per definizione, si assume pari a zero.
Diciamo inoltre, uno spazio vettoriale diverso da zero e un sistema di vettori diversi da zero 
è il suo sistema di generazione finito.
Se questo sistema è linearmente indipendente, allora tutto è dimostrato, perché sistema linearmente indipendente e generatore di vettori di uno spazio vettoriale è la sua base.
Se il dato sistema di vettori è linearmente dipendente, allora uno dei vettori di questo sistema è espresso linearmente in termini di quelli rimanenti e può essere rimosso dal sistema, e il sistema di vettori rimanente continuerà a generare.
Rinumeriamo il restante sistema di vettori: 
. Si ripete un ulteriore ragionamento.
Se questo sistema è linearmente indipendente, allora è una base. In caso contrario, di nuovo c'è un vettore in questo sistema che può essere rimosso e il sistema rimanente verrà generato.
Ripetendo questo processo, non possiamo rimanere con un sistema vettoriale vuoto, poiché nel caso più estremo, ci ritroveremo con un sistema generatore di un vettore diverso da zero, linearmente indipendente e, quindi, una base. Pertanto, ad un certo punto arriviamo a un sistema di vettori linearmente indipendente e generatore, ad es. alla base, ecc.
Il teorema è stato dimostrato.
Lemma. Permettere . Poi:
1. Qualsiasi sistema dal vettore è linearmente dipendente.
2. Qualsiasi sistema di vettori linearmente indipendente è la sua base.
Prova. 1). Per la condizione del lemma, il numero di vettori nella base è uguale e la base è un sistema generatore; pertanto, il numero di vettori in qualsiasi sistema linearmente indipendente non può superare, cioè, qualsiasi sistema contenente un vettore è linearmente dipendente.
2). Come segue da quanto appena dimostrato, ogni sistema di vettori linearmente indipendente in questo spazio vettoriale è massimale, e quindi una base.
Il lemma è dimostrato.
Teorema (In aggiunta a una base.) Qualsiasi sistema linearmente indipendente di vettori di uno spazio vettoriale può essere completato a una base di questo spazio.
Prova. Sia uno spazio vettoriale di dimensione n e 
qualche sistema linearmente indipendente dei suoi vettori. Poi 
.
Se 
, allora per il lemma precedente, questo sistema è una base e non c'è nulla da dimostrare.
Se 
, allora questo sistema non è un sistema indipendente lineare massimale (altrimenti sarebbe una base, il che è impossibile, perché). Pertanto, c'è un vettore 
, tale che il sistema 
è linearmente indipendente.
Se, ora, allora il sistema 
è la base.
Se 
, tutto si ripete. Il processo di rifornimento del sistema non può continuare indefinitamente, perché. ad ogni passo si ottiene un sistema linearmente indipendente di vettori spaziali e, per il lemma precedente, il numero di vettori in un tale sistema non può eccedere la dimensione dello spazio. Di conseguenza, ad un certo punto arriveremo alla base dello spazio dato.
Il teorema è stato dimostrato.
Esempio. Sia K un campo arbitrario, 
è uno spazio vettoriale aritmetico di colonne di altezza. Poi 
.
Per dimostrarlo, considera il sistema di colonne di questo spazio:
,
,
... ,
.
Abbiamo già dimostrato che questo sistema è linearmente indipendente. Dimostriamo che si tratta di un sistema generatore di colonne nello spazio.
Permettere 
- una colonna arbitraria. Allora l'uguaglianza è ovvia: Quelli. sistema 
è generatrice e, quindi, è una base. Da qui, 
, eccetera.
Definizione. Base
,
,
... ,
spazio colonna vettoriale aritmetico 
l'altezza n è chiamata canonica o naturale.
Esercizio.
Dimostrare che se un sistema generatore di vettori contiene un vettore nullo, dopo averlo rimosso dal sistema, verrà generato anche il sistema di vettori rimanente.
punto 2. Azioni con vettori in forma coordinata.
Permettere 
è la base dello spazio vettoriale V sul campo K e 
è un vettore arbitrario dello spazio vettoriale V. Dalla definizione di una base segue che qualsiasi vettore 
può essere rappresentato come una combinazione lineare di vettori di base e, inoltre, in modo univoco:
Definizione. L'uguaglianza (1) è chiamata l'espansione del vettore x in termini della base 
. Coefficienti di combinazione lineare (1): 
sono chiamate le coordinate del vettore x rispetto alla base 
.
Teorema. Permettere 
è la base dello spazio vettoriale V sul campo K. Schermo
,
quale ogni vettore 
mappa un insieme ordinato 
le sue coordinate rispetto alla base data è una biiezione, cioè corrispondenza uno a uno.
Prova. Per ogni vettore dello spazio vettoriale V esiste un unico insieme delle sue coordinate, quindi la corrispondenza 
è, per definizione, una mappatura.
Dimostriamo che la mappatura 
è una suriezione. Permettere 
è un insieme arbitrario di scalari. Quindi poniamo, per definizione,
Poiché V è uno spazio vettoriale sul campo K, il prodotto dei vettori di base e gli scalari del campo K sono vettori dello spazio vettoriale V:
,
.
La somma dei vettori di uno spazio vettoriale V è anche il suo vettore, cioè
Quindi, per ogni insieme ordinato di n scalari del campo K, esiste un vettore 
, per cui questo insieme di scalari è le sue coordinate rispetto alla base data, cioè
Dimostriamo che la mappatura 
è un'iniezione
Lascia stare, 
sono due vettori arbitrari dello spazio vettoriale e 
. Vogliamo dimostrarlo 
. Supponiamo al contrario che a vettori diversi la mappatura 
mappa lo stesso insieme di scalari:
Dalla definizione della mappatura 
ne consegue che questo insieme di scalari sono le coordinate sia del vettore x che del vettore y rispetto alla base 
, cioè.
e , da cui segue che 
. Abbiamo una contraddizione, quindi, vettori diversi hanno coordinate diverse e 
, eccetera.
Quindi il display 
è un'iniezione e una suriezione, cioè biiezione, ecc.
Il teorema è stato dimostrato.
Commento. In futuro, le coordinate del vettore x saranno scritte in una colonna e denotate:
.
In accordo con la notazione del teorema precedente, scriveremo:
.
In queste notazioni vale il seguente teorema.
Teorema. Lasciare rispetto a una base fissa 
spazio vettoriale V su un campo K
,
, Dove 
sono vettori arbitrari, e let 
è uno scalare arbitrario. Allora le uguaglianze sono vere:
;
2)
O
.
In altre parole, quando vengono aggiunti i vettori, vengono aggiunte le loro coordinate e quando uno scalare viene moltiplicato per un vettore, le sue coordinate vengono moltiplicate per quello scalare.
Prova. Permettere
Sommando i vettori x e y e moltiplicando il vettore x per uno scalare 
, noi abbiamo:
Il teorema è stato dimostrato.
punto 3. Isomorfismo degli spazi vettoriali.
Definizione. Siano Vi e W spazi vettoriali arbitrari sul campo K. Mappatura 
è chiamato omomorfismo (o mappatura lineare) dello spazio vettoriale 
nello spazio vettoriale 
, Se 
,
:
2)
.
Definizione. Siano Vi e W spazi vettoriali arbitrari sul campo K. Omomorfismo 
è detto isomorfismo nello spazio vettoriale 
nello spazio vettoriale 
se il display 
è una biiezione (cioè una corrispondenza biunivoca).
Definizione. Se c'è un isomorfismo 
, quindi lo spazio vettoriale 
è detto isomorfo allo spazio vettoriale 
.
Designazione: 
.
Teorema. Sull'insieme degli spazi vettoriali sullo stesso campo K, la relazione di isomorfismo è una relazione di equivalenza, cioè questa relazione ha le proprietà di riflessività, simmetria e transitività:
1) proprietà di riflessività: 
è qualsiasi spazio vettoriale 
isomorfo a se stesso;
2) proprietà di simmetria: 
;
3) proprietà di transitività: .
Conseguenza. Se V è uno spazio vettoriale su un campo K e 
, allora lo spazio vettoriale V è isomorfo allo spazio vettoriale aritmetico delle colonne di altezza n: 
.
Prova. Schermo 
, definito dalla regola 
,
,
dove X è una colonna di coordinate del vettore x rispetto a una base fissa 
spazio vettoriale V su un campo K, è:
1) omomorfismo degli spazi vettoriali, cioè
,
le uguaglianze sono vere
E 
;
2) biiezione.
Quindi, dalla definizione di un isomorfismo di spazi vettoriali, ne consegue che 
, eccetera.
Da ciò e dal corollario è facile ricavare il seguente risultato.
Teorema. Due spazi vettoriali a dimensione finita sullo stesso campo sono isomorfi se e solo se le loro dimensioni sono uguali.
Da ciò, in particolare, segue che in una classe di equivalenza ci sono quegli e solo quegli spazi vettoriali che hanno la stessa dimensione.
L'ultimo corollario è molto importante dal punto di vista pratico. Qualunque sia la natura dei vettori di uno spazio vettoriale: segmenti orientati, polinomi, funzioni, matrici o altro, possiamo sostituire lo spazio vettoriale studiato con uno spazio isomorfo di colonne di altezza appropriata e lavorare con scalari, ad es. con i numeri.
In altre parole, in termini moderni, digitalizziamo lo spazio vettoriale, ad es. identifichiamo l'elemento dello spazio vettoriale, il vettore x, con un insieme ordinato di numeri, e le operazioni con i vettori, la loro addizione e moltiplicazione per uno scalare, vengono eseguite utilizzando addizione e moltiplicazione di numeri, che ci consente di connettere un computer quando lavorando con qualsiasi spazio vettoriale a dimensione finita.
punto 4. matrice di transizione.
Permettere 
,
sono due basi di uno spazio vettoriale arbitrario V su un campo K. Chiamiamo la prima base "vecchia" e la seconda "nuova". Espandiamo i vettori della nuova base in termini della vecchia base:
(2)
(Prestare attenzione alla numerazione dei coefficienti!)
Ogni uguaglianza in (2) può essere scritta in forma matriciale se usiamo formalmente la regola di moltiplicare una riga per una colonna. Permettere 
- stringa di lunghezza 
, i cui elementi sono vettori della vecchia base. Allo stesso modo, 
è il vettore riga della nuova base. Considereremo queste righe come matrici delle dimensioni corrispondenti ed eseguiremo operazioni con esse come con matrici numeriche. (Tali azioni possono essere giustificate). Quindi, 
,
.
Se indichiamo la colonna delle coordinate del vettore 
Attraverso 
:
,
allora l'ultima equazione può essere scritta come:
e l'intero sistema di uguaglianze (2) - nella forma:
.
Pertanto, le uguaglianze (2) in forma matriciale hanno la forma:
.
(3)
Questa forma di registrazione rende molto più facile il calcolo.
Definizione. Matrice
è detta matrice di transizione dalla vecchia base 
ad una nuova base 
.
La matrice di transizione dalla base 
alla base 
indichiamo con la lettera C o 
O 
.
In queste notazioni, l'uguaglianza (3) assume la forma:
punto 5. Calcolo della matrice di transizione nello spazio delle colonne.
L'uguaglianza (4) viene utilizzata per calcolare la matrice di transizione. Lascia che i vettori sia della vecchia che della nuova base siano colonne della stessa altezza, cioè sono vettori dello spazio 
. Quindi le colonne delle vecchie e nuove basi formano matrici: 
,
. Sostituendoli nell'uguaglianza (4), otteniamo l'uguaglianza della matrice:
.
(5)
Denotando la matrice di transizione desiderata con la lettera X, otteniamo l'equazione della matrice 
, quale può
risolvere con il metodo gaussiano. Risolvendo questa equazione matriciale, troviamo la matrice di transizione:
.
(6)
Si noti che le colonne 
sono la base dello spazio delle colonne e sono quindi linearmente indipendenti.
Inoltre, verrà mostrato (frequenta le lezioni!) che se le colonne di una matrice quadrata sono linearmente indipendenti, allora tale matrice è non singolare, cioè il suo determinante non è uguale a zero e la matrice stessa è invertibile, cioè ha un rovescio.
punto 6. Modifica delle coordinate del vettore quando si modifica la base.
Permettere 
,
sono due basi di uno spazio vettoriale arbitrario V e let 
è un vettore arbitrario. Denotare con 
E 
sono colonne di coordinate del vettore x relative rispettivamente alla vecchia e alla nuova base. In tale notazione vale il seguente teorema, che stabilisce una connessione tra le coordinate dello stesso vettore in due basi diverse.
Teorema. 
.
Prova. Tutti i calcoli saranno effettuati in forma matriciale.
Secondo il teorema
,
(7)
dove indicato
.
Allo stesso modo,
,
(8)
dove indicato
- colonna di coordinate del vettore x relativo alla base 
.
Sostituendo l'uguaglianza (4) nell'uguaglianza (8), otteniamo:
Il risultato della moltiplicazione di una matrice per una colonna è una colonna e dall'uguaglianza ottenuta segue che la colonna 
è una colonna di coordinate del vettore x rispetto alla base 
. E dall'uguaglianza (7) segue che la colonna 
è anche una colonna di coordinate del vettore x rispetto alla base 
.
Poiché ogni vettore ha una singola colonna di coordinate rispetto a una base fissa, queste colonne sono uguali, cioè
.
Il teorema è stato dimostrato.
punto 7. Proprietà della matrice di transizione.
Lemma. Siano A e B due matrici di dimensione 
sopra il campo K. Se per qualsiasi colonna 
uguaglianza 
, Poi 
.
Prova. Permettere 
sono le colonne della matrice A, 
sono le colonne della matrice B, 
è la base canonica dello spazio delle colonne 
.
Sostituire in uguaglianza 
invece della colonna X, colonne della base canonica. Noi abbiamo 
uguaglianza 
. È facile verificarlo 
, le uguaglianze sono vere 
E 
. Da qui, 
,
, che significa 
, eccetera.
