In questa lezione considereremo i metodi per risolvere un sistema di equazioni lineari. Nel corso della matematica superiore, i sistemi di equazioni lineari devono essere risolti sia sotto forma di compiti separati, ad esempio "Risolvi il sistema usando le formule di Cramer", sia nel corso della risoluzione di altri problemi. Si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari in quasi tutti i rami della matematica superiore.

Innanzitutto, una piccola teoria. Cosa significa in questo caso la parola matematica "lineare"? Ciò significa che nelle equazioni del sistema Tutto le variabili sono incluse in primo grado: nessuna roba di fantasia come ecc., di cui sono felici solo i partecipanti alle Olimpiadi matematiche.

Nella matematica superiore, non solo le lettere familiari fin dall'infanzia vengono utilizzate per designare le variabili.
Un'opzione abbastanza popolare sono le variabili con indici: .
O le lettere iniziali dell'alfabeto latino, piccole e grandi:
Non è così raro trovare lettere greche: - ben note a molti "alfa, beta, gamma". E anche un set con indici, diciamo, con la lettera "mu":

L'uso dell'una o dell'altra serie di lettere dipende dal ramo della matematica superiore in cui ci troviamo di fronte a un sistema di equazioni lineari. Quindi, ad esempio, nei sistemi di equazioni lineari incontrati nella risoluzione di integrali, equazioni differenziali, è tradizionalmente consuetudine utilizzare la notazione

Ma non importa come vengono designate le variabili, i principi, i metodi e i metodi per risolvere un sistema di equazioni lineari non cambiano da questo. Quindi, se ti imbatti in qualcosa di terribile come, non affrettarti a chiudere il libro dei problemi per la paura, dopotutto, invece puoi disegnare il sole, invece - un uccello, e invece - una faccia (di un insegnante). E, stranamente, è possibile risolvere anche un sistema di equazioni lineari con queste notazioni.

Qualcosa che ho una tale premonizione che l'articolo risulterà piuttosto lungo, quindi un piccolo sommario. Quindi, il "debriefing" sequenziale sarà il seguente:

– Risolvere un sistema di equazioni lineari con il metodo della sostituzione (“metodo della scuola”);
– Soluzione del sistema con il metodo dell'addizione termine per termine (sottrazione) delle equazioni del sistema;
– Soluzione del sistema mediante le formule di Cramer;
– Soluzione del sistema utilizzando la matrice inversa;
– Soluzione del sistema con il metodo di Gauss.

Tutti hanno familiarità con i sistemi di equazioni lineari del corso di matematica della scuola. In effetti, iniziamo con la ripetizione.

Risoluzione di un sistema di equazioni lineari con il metodo della sostituzione

Questo metodo può anche essere chiamato "metodo scolastico" o metodo per eliminare le incognite. In senso figurato, può anche essere chiamato il "metodo Gauss semifinito".

Esempio 1

Abbiamo un sistema di due equazioni in due incognite. Si noti che i termini liberi (numeri 5 e 7) si trovano sul lato sinistro dell'equazione. In generale, non importa dove si trovino, a sinistra oa destra, è solo che nei problemi di matematica superiore sono spesso posizionati in quel modo. E un tale record non dovrebbe creare confusione, se necessario, il sistema può sempre essere scritto "come al solito":. Non dimenticare che quando trasferisci un termine da una parte all'altra, devi cambiarne il segno.

Cosa significa risolvere un sistema di equazioni lineari? Risolvere un sistema di equazioni significa trovare l'insieme delle sue soluzioni. La soluzione del sistema è un insieme di valori di tutte le variabili incluse in esso, che trasforma OGNI equazione del sistema in una vera uguaglianza. Inoltre, il sistema può essere incompatibile (non avere soluzioni).Non essere timido, questa è una definizione generale =) Avremo solo un valore di "x" e un valore di "y", che soddisfano ogni equazione con-noi.

Esiste un metodo grafico per risolvere il sistema, che può essere trovato nella lezione. I problemi più semplici con una linea retta. Lì ho parlato senso geometrico sistemi di due equazioni lineari in due incognite. Ma ora nel cortile è l'era dell'algebra e dei numeri-numeri, delle azioni-azioni.

Noi decidiamo: dalla prima equazione esprimiamo:
Sostituiamo l'espressione risultante nella seconda equazione:

Apriamo le parentesi, diamo termini simili e troviamo il valore:

Successivamente, ricordiamo da cosa hanno ballato:
Conosciamo già il valore, resta da trovare:

Risposta:

Dopo che QUALSIASI sistema di equazioni è stato risolto in QUALSIASI modo, consiglio vivamente di controllare (oralmente, su bozza o calcolatrice). Fortunatamente, questo viene fatto rapidamente e facilmente.

1) Sostituisci la risposta trovata nella prima equazione:

- si ottiene l'uguaglianza corretta.

2) Sostituiamo la risposta trovata nella seconda equazione:

- si ottiene l'uguaglianza corretta.

O, per dirla più semplicemente, "tutto è andato per il verso giusto"

Il metodo di soluzione considerato non è l'unico; dalla prima equazione era possibile esprimere , ma non .
Puoi viceversa: esprimere qualcosa dalla seconda equazione e sostituirlo nella prima equazione. A proposito, nota che il più svantaggioso dei quattro modi è esprimere dalla seconda equazione:

Le frazioni si ottengono, ma perché è così? C'è una soluzione più razionale.

Tuttavia, in alcuni casi, le frazioni sono ancora indispensabili. A questo proposito, attiro la tua attenzione su COME ho scritto l'espressione. Non così: e per niente così: .

Se in matematica superiore hai a che fare con numeri frazionari, prova a eseguire tutti i calcoli in frazioni improprie ordinarie.

Precisamente, no o!

La virgola può essere utilizzata solo occasionalmente, in particolare se - questa è la risposta definitiva a qualche problema e non è necessario eseguire ulteriori azioni con questo numero.

Molti lettori probabilmente hanno pensato "perché una spiegazione così dettagliata, come per una lezione di correzione, e tutto è chiaro". Niente del genere, sembra essere un esempio scolastico così semplice, ma quante conclusioni MOLTO importanti! Eccone un altro:

Qualsiasi compito dovrebbe essere cercato di essere completato nel modo più razionale.. Se non altro perché fa risparmiare tempo e nervi e riduce anche la probabilità di commettere un errore.

Se in un compito di matematica superiore ti imbatti in un sistema di due equazioni lineari con due incognite, puoi sempre utilizzare il metodo di sostituzione (a meno che non sia indicato che il sistema deve essere risolto con un altro metodo) ".
Inoltre, in alcuni casi, è consigliabile utilizzare il metodo di sostituzione con un numero maggiore di variabili.

Esempio 2

Risolvere un sistema di equazioni lineari a tre incognite

Un simile sistema di equazioni sorge spesso quando si utilizza il cosiddetto metodo dei coefficienti indefiniti, quando troviamo l'integrale di una funzione frazionaria razionale. Il sistema in questione è stato preso da me da lì.

Quando si trova l'integrale, l'obiettivo veloce trova i valori dei coefficienti e non essere sofisticato con le formule di Cramer, il metodo della matrice inversa, ecc. Pertanto, in questo caso, il metodo di sostituzione è appropriato.

Quando viene fornito un sistema di equazioni, prima di tutto è desiderabile scoprirlo, ma è possibile in qualche modo semplificarlo IMMEDIATAMENTE? Analizzando le equazioni del sistema, notiamo che la seconda equazione del sistema può essere divisa per 2, cosa che facciamo:

Riferimento: un simbolo matematico significa "da questo segue questo", è spesso usato nel corso della risoluzione di problemi.

Ora analizziamo le equazioni, dobbiamo esprimere qualche variabile attraverso il resto. Quale equazione scegliere? Probabilmente hai già intuito che il modo più semplice per questo scopo è prendere la prima equazione del sistema:

Qui, non importa quale variabile esprimere, si potrebbe anche esprimere o .

Successivamente, sostituiamo l'espressione for nella seconda e terza equazione del sistema:

Apri le parentesi e aggiungi termini simili:

Dividiamo la terza equazione per 2:

Dalla seconda equazione, esprimiamo e sostituiamo nella terza equazione:

Quasi tutto è pronto, dalla terza equazione troviamo:
Dalla seconda equazione:
Dalla prima equazione:

Verifica: sostituisci i valori trovati delle variabili nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema:

1)
2)
3)

Si ottengono i corrispondenti membri di destra delle equazioni, quindi la soluzione viene trovata correttamente.

Esempio 3

Risolvere un sistema di equazioni lineari in 4 incognite

Questo è un esempio di auto-risoluzione (risposta alla fine della lezione).

Soluzione del sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema

Nel corso della risoluzione di sistemi di equazioni lineari, si dovrebbe cercare di utilizzare non il "metodo scolastico", ma il metodo dell'addizione termine per termine (sottrazione) delle equazioni del sistema. Perché? Ciò consente di risparmiare tempo e semplifica i calcoli, tuttavia ora diventerà più chiaro.

Esempio 4

Risolvi il sistema di equazioni lineari:

Ho preso lo stesso sistema del primo esempio.
Analizzando il sistema di equazioni, notiamo che i coefficienti della variabile sono identici in valore assoluto e opposti in segno (–1 e 1). In questa situazione, le equazioni possono essere sommate termine per termine:

Le azioni cerchiate in rosso vengono eseguite MENTALMENTE.
Come puoi vedere, come risultato dell'addizione termwise, abbiamo perso la variabile . Questo, infatti, è l'essenza del metodo è sbarazzarsi di una delle variabili.

In generale, l'equazione lineare ha la forma:

L'equazione ha soluzione: se almeno uno dei coefficienti nelle incognite è diverso da zero. In questo caso, qualsiasi vettore -dimensionale è chiamato soluzione dell'equazione se, quando le sue coordinate vengono sostituite, l'equazione diventa un'identità.

Caratteristiche generali del sistema di equazioni ammesso

Esempio 20.1

Descrivi il sistema di equazioni.

Soluzione:

1. C'è un'equazione incoerente?(Se i coefficienti, in questo caso l'equazione ha la forma: e si chiama controverso.)

• Se un sistema ne contiene uno incoerente, allora tale sistema è incoerente e non ha soluzione.

2. Trova tutte le variabili consentite. (L'ignoto è chiamatoconsentito per un sistema di equazioni, se entra in una delle equazioni del sistema con un coefficiente di +1, e non entra nel resto delle equazioni (cioè entra con un coefficiente uguale a zero).

3. Il sistema di equazioni è consentito? (Il sistema di equazioni si dice risolto, se ogni equazione del sistema contiene un'incognita risolta, tra cui non ve ne sono di coincidenti)

Le incognite ammesse, prese una alla volta da ogni equazione del sistema, formano set completo di incognite consentite sistemi. (nel nostro esempio è )

Vengono chiamate anche le incognite consentite incluse nel set completo di base(), e non incluso nel set - gratuito ().

Nel caso generale, il sistema di equazioni risolto ha la forma:

In questa fase, è importante capire cos'è risolto sconosciuto(incluso nella base e gratuito).

Soluzione di base parziale generale

Soluzione generale del sistema di equazioni consentito è l'insieme delle espressioni delle incognite consentite in termini di termini liberi e incognite libere:

Decisione privata si chiama soluzione ottenuta dal generale per valori specifici delle variabili libere e delle incognite.

Soluzione di baseè una soluzione particolare ricavata da quella generale a valori nulli delle variabili libere.

• Viene chiamata la soluzione di base (vettore). degenerare, se il numero delle sue coordinate diverse da zero è inferiore al numero di incognite consentite.
• La soluzione di base è chiamata non degenerato, se il numero delle sue coordinate diverse da zero è uguale al numero di incognite consentite del sistema incluso nell'insieme completo.

Teorema (1)

Il sistema di equazioni consentito è sempre compatibile(perché ha almeno una soluzione); Inoltre, se il sistema non ha incognite libere,(ovvero, nel sistema di equazioni, tutte quelle consentite sono incluse nella base) allora è definito(ha una soluzione unica); se c'è almeno una variabile libera, allora il sistema non è definito(ha un numero infinito di soluzioni).

Esempio 1. Trova una soluzione generale, di base e qualsiasi soluzione particolare al sistema di equazioni:

Soluzione:

1. Verifica se il sistema è consentito?

• Il sistema è consentito (poiché ciascuna delle equazioni contiene un'incognita consentita)

2. Includiamo le incognite consentite nell'insieme, una per ciascuna equazione.

3. Annotiamo la soluzione generale, a seconda di quali incognite consentite abbiamo incluso nel set.

4. Trovare una soluzione privata. Per fare ciò, equipariamo le variabili libere che non abbiamo incluso nell'insieme per equipararle a numeri arbitrari.

Risposta: soluzione privata(una delle opzioni)

5. Trovare la soluzione di base. Per fare ciò, equipariamo a zero le variabili libere che non abbiamo incluso nell'insieme.

Trasformazioni elementari di equazioni lineari

I sistemi di equazioni lineari sono ridotti a sistemi consentiti equivalenti con l'aiuto di trasformazioni elementari.

Teorema (2)

Se ce ne sono moltiplicare l'equazione del sistema per un numero diverso da zero, e lascia invariato il resto delle equazioni, quindi . (ovvero, se moltiplichi i lati sinistro e destro dell'equazione per lo stesso numero, ottieni un'equazione equivalente a quella data)

Teorema (3)

Se aggiungerne un altro a qualsiasi equazione del sistema, e lasciare invariate tutte le altre equazioni, quindi ottenere un sistema equivalente al dato. (ovvero, se aggiungi due equazioni (aggiungendo le loro parti sinistra e destra), ottieni un'equazione equivalente ai dati)

Corollario dei Teoremi (2 e 3)

Se aggiungi a qualsiasi equazione un'altra, moltiplicata per un certo numero, e lascia invariate tutte le altre equazioni, quindi otteniamo un sistema equivalente al dato.

Formule per il ricalcolo dei coefficienti del sistema

Se abbiamo un sistema di equazioni e vogliamo convertirlo in un sistema di equazioni consentito, il metodo Jordan-Gauss ci aiuterà in questo.

Trasformazione della Giordania con un elemento risolutivo consente di ottenere l'incognita risolta per il sistema di equazioni nell'equazione con il numero . (esempio 2).

La trasformata di Jordan consiste in trasformazioni elementari di due tipi:

Supponiamo di voler rendere l'incognita nell'equazione inferiore un'incognita risolta. Per fare ciò, dobbiamo dividere per in modo che la somma sia .

Esempio 2 Ricalcolare i coefficienti del sistema

Quando si divide un'equazione con un numero per , i suoi coefficienti vengono ricalcolati secondo le formule:

Per escludere dall'equazione con il numero , devi moltiplicare l'equazione con il numero per e aggiungere a questa equazione.

Teorema (4) Sulla riduzione del numero di equazioni di sistema.

Se il sistema di equazioni contiene un'equazione banale, allora può essere esclusa dal sistema e si otterrà un sistema equivalente a quello originale.

Teorema (5) Sull'incompatibilità del sistema di equazioni.

Se un sistema di equazioni contiene un'equazione incoerente, allora è incoerente.

Algoritmo di Jordan-Gauss

L'algoritmo per la risoluzione di sistemi di equazioni con il metodo Jordan-Gauss consiste in una serie di passaggi dello stesso tipo, ognuno dei quali esegue azioni nel seguente ordine:

1. Controlla se il sistema è incoerente. Se un sistema contiene un'equazione incoerente, allora è incoerente.
2. Viene verificata la possibilità di ridurre il numero di equazioni. Se il sistema contiene un'equazione banale, viene barrata.
3. Se il sistema di equazioni è consentito, annotare la soluzione generale del sistema e, se necessario, soluzioni particolari.
4. Se il sistema non è consentito, nell'equazione che non contiene un'incognita consentita viene scelto un elemento risolutivo e viene eseguita una trasformazione di Jordan con questo elemento.
5. Poi torna al punto 1.

Esempio 3 Risolvi il sistema di equazioni usando il metodo Jordan-Gauss.

Trovare: due soluzioni di base generali e due corrispondenti

Soluzione:

I calcoli sono riportati nella tabella seguente:

Le azioni sulle equazioni sono mostrate a destra della tabella. Le frecce indicano a quale equazione viene aggiunta l'equazione con l'elemento risolutivo moltiplicato per un opportuno fattore.

Le prime tre righe della tabella contengono i coefficienti delle incognite e le parti giuste del sistema originario. I risultati della prima trasformata di Jordan con risoluzione pari a uno sono riportati nelle righe 4, 5, 6. I risultati della seconda trasformazione di Jordan con risoluzione pari a (-1) sono riportati nelle righe 7, 8, 9. Poiché la terza equazione è banale, non può essere considerata.

Esempio 1. Trova una soluzione generale e qualche soluzione particolare del sistema

Soluzione farlo con una calcolatrice. Scriviamo le matrici estese e principali:

La matrice principale A è separata da una linea tratteggiata Dall'alto, scriviamo i sistemi incogniti, tenendo presente la possibile permutazione dei termini nelle equazioni del sistema. Determinando il rango della matrice estesa, troviamo contemporaneamente il rango di quella principale. Nella matrice B, la prima e la seconda colonna sono proporzionali. Delle due colonne proporzionali solo una può cadere nella minore di base, quindi spostiamo ad esempio la prima colonna oltre la linea tratteggiata di segno opposto. Per il sistema, ciò significa il trasferimento di termini da x 1 al lato destro delle equazioni.

Portiamo la matrice in forma triangolare. Lavoreremo solo con le righe, poiché moltiplicare una riga della matrice per un numero diverso da zero e aggiungere un'altra riga per il sistema significa moltiplicare l'equazione per lo stesso numero e aggiungerla a un'altra equazione, che non cambia la soluzione del sistema . Lavorando con la prima riga: moltiplica la prima riga della matrice per (-3) e aggiungi a turno la seconda e la terza riga. Quindi moltiplichiamo la prima riga per (-2) e la aggiungiamo alla quarta.

La seconda e la terza riga sono proporzionali, quindi una di esse, ad esempio la seconda, può essere barrata. Ciò equivale a cancellare la seconda equazione del sistema, poiché è una conseguenza della terza.

Ora lavoriamo con la seconda riga: moltiplicala per (-1) e aggiungila alla terza.

Il minore tratteggiato ha l'ordine più alto (di tutti i minori possibili) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale), e questo minore appartiene sia alla matrice principale che a quella estesa, quindi rangA = rangB = 3 .
Minore è basilare. Include i coefficienti per le incognite x 2, x 3, x 4, il che significa che le incognite x 2, x 3, x 4 sono dipendenti e x 1, x 5 sono libere.
Trasformiamo la matrice, lasciando a sinistra solo il minore di base (che corrisponde al punto 4 dell'algoritmo risolutivo di cui sopra).

Il sistema con coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale e ha la forma

Con il metodo di eliminazione delle incognite troviamo:
, ,

Abbiamo relazioni che esprimono variabili dipendenti x 2, x 3, x 4 attraverso x 1 e x 5 liberi, cioè abbiamo trovato una soluzione generale:

Dando valori arbitrari alle incognite libere, si ottiene un numero qualsiasi di soluzioni particolari. Troviamo due soluzioni particolari:
1) sia x 1 = x 5 = 0, allora x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) metti x 1 = 1, x 5 = -1, quindi x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Pertanto, abbiamo trovato due soluzioni: (0.1, -3,3,0) - una soluzione, (1.4, -7.7, -1) - un'altra soluzione.

Esempio 2. Indagare sulla compatibilità, trovare una soluzione generale e una particolare del sistema

Soluzione. Riorganizziamo la prima e la seconda equazione per avere un'unità nella prima equazione e scriviamo la matrice B.

Otteniamo zeri nella quarta colonna, operando sulla prima riga:

Ora ottieni gli zeri nella terza colonna usando la seconda riga:

La terza e la quarta riga sono proporzionali, quindi una di esse può essere cancellata senza modificare il rango:
Moltiplica la terza riga per (-2) e aggiungi alla quarta:

Vediamo che i ranghi delle matrici principale ed estesa sono 4, e il rango coincide con il numero di incognite, quindi il sistema ha un'unica soluzione:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Esempio 3. Esaminare il sistema per verificarne la compatibilità e trovare una soluzione, se esiste.

Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema.

Riorganizza le prime due equazioni in modo che ci sia un 1 nell'angolo in alto a sinistra:
Moltiplicando la prima riga per (-1), la aggiungiamo alla terza:

Moltiplica la seconda riga per (-2) e aggiungi alla terza:

Il sistema è incoerente, poiché la matrice principale ha ricevuto una riga composta da zeri, che viene barrata quando viene trovato il rango, e l'ultima riga rimane nella matrice estesa, ovvero r B > r A .

Esercizio. Indaga sulla compatibilità di questo sistema di equazioni e risolvilo mediante il calcolo matriciale.
Soluzione

Esempio. Dimostrare la compatibilità di un sistema di equazioni lineari e risolverlo in due modi: 1) con il metodo di Gauss; 2) Metodo di Cramer. (inserisci la risposta nella forma: x1,x2,x3)
Soluzione :doc :doc :xls
Risposta: 2,-1,3.

Esempio. È dato un sistema di equazioni lineari. Dimostra la sua compatibilità. Trova una soluzione generale del sistema e una soluzione particolare.
Soluzione
Risposta: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3 x 5

Esercizio. Trova soluzioni generali e particolari per ogni sistema.
Soluzione. Studiamo questo sistema usando il teorema di Kronecker-Capelli.
Scriviamo le matrici estese e principali:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x2	x 3	x4	x5

Qui la matrice A è in grassetto.
Portiamo la matrice in forma triangolare. Lavoreremo solo con le righe, poiché moltiplicare una riga della matrice per un numero diverso da zero e aggiungere un'altra riga per il sistema significa moltiplicare l'equazione per lo stesso numero e aggiungerla a un'altra equazione, che non cambia la soluzione del sistema .
Moltiplica la prima riga per (3). Moltiplica la seconda riga per (-1). Aggiungiamo la seconda riga alla prima:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Moltiplica la seconda riga per (2). Moltiplica la terza riga per (-3). Aggiungiamo la terza riga alla seconda:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Moltiplica la seconda riga per (-1). Aggiungiamo la seconda riga alla prima:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Il minore selezionato ha l'ordine più alto (tra i minori possibili) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale reciproca), e questo minore appartiene sia alla matrice principale che a quella estesa, quindi rang( A) = rang(B) = 3 Poiché il rango della matrice principale è uguale al rango di quella estesa, allora il sistema è collaborativo.
Questo minore è di base. Include i coefficienti per le incognite x 1, x 2, x 3, il che significa che le incognite x 1, x 2, x 3 sono dipendenti (di base) e x 4, x 5 sono libere.
Trasformiamo la matrice, lasciando a sinistra solo la base minore.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x2	x 3		x4	x5

Il sistema con i coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale e ha la forma:
27x3=
- x 2 + 13 x 3 = - 1 + 3 x 4 - 6 x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Con il metodo di eliminazione delle incognite troviamo:
Abbiamo ottenuto relazioni che esprimono variabili dipendenti x 1, x 2, x 3 attraverso x 4, x 5 liberi, cioè abbiamo trovato decisione comune:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = -1 + 3x 4 - 8x 5
incerto, Perché ha più di una soluzione.

Esercizio. Risolvi il sistema di equazioni.
Risposta:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Dando valori arbitrari alle incognite libere, si ottiene un numero qualsiasi di soluzioni particolari. Il sistema è incerto

Il metodo gaussiano presenta una serie di svantaggi: è impossibile sapere se il sistema è consistente o meno finché non sono state effettuate tutte le trasformazioni necessarie nel metodo gaussiano; il metodo gaussiano non è adatto per sistemi con coefficienti di lettere.

Considera altri metodi per risolvere sistemi di equazioni lineari. Questi metodi utilizzano il concetto di rango di una matrice e riducono la soluzione di qualsiasi sistema di giunti alla soluzione di un sistema a cui si applica la regola di Cramer.

Esempio 1 Trova la soluzione generale del seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo ridotto e una soluzione particolare del sistema disomogeneo.

1. Facciamo una matrice UN e la matrice aumentata del sistema (1)

2. Esplora il sistema (1) per compatibilità. Per fare questo, troviamo i ranghi delle matrici UN e https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Se risulta che , allora il sistema (1) incompatibile. Se lo capiamo , allora questo sistema è coerente e lo risolveremo. (Lo studio di consistenza si basa sul teorema di Kronecker-Capelli).

UN. Noi troviamo RA.

Trovare RA, considereremo successivamente minori diversi da zero del primo, secondo, ecc. ordine della matrice UN e i minori che li circondano.

M1=1≠0 (1 è preso dall'angolo in alto a sinistra della matrice UN).

Confinante M1 la seconda riga e la seconda colonna di questa matrice. . Continuiamo a confinare M1 la seconda riga e la terza colonna..gif" width="37" height="20 src=">. Ora limitiamo il minore diverso da zero MI2' secondo ordine.

Abbiamo: (perché le prime due colonne sono uguali)

(perché la seconda e la terza riga sono proporzionali).

Lo vediamo rA=2, ed è la base minore della matrice UN.

B. Noi troviamo .

Minore sufficientemente elementare MI2' matrici UN bordo con una colonna di membri liberi e tutte le righe (abbiamo solo l'ultima riga).

. Ne consegue che MI3'' rimane la base minore della matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Perché MI2'- base minore della matrice UN sistemi (2) , allora questo sistema è equivalente al sistema (3) , costituito dalle prime due equazioni del sistema (2) (per MI2'è nelle prime due righe della matrice A).

(3)

Poiché il minore di base è https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

In questo sistema, due incognite libere ( x2 E x4 ). Ecco perché FSR sistemi (4) si compone di due soluzioni. Per trovarli, assegniamo sconosciuti gratuiti a (4) prima i valori x2=1 , x4=0 , poi - x2=0 , x4=1 .

A x2=1 , x4=0 noi abbiamo:

.

Questo sistema ha già l'unica cosa soluzione (può essere trovata con la regola di Cramer o con qualsiasi altro metodo). Sottraendo la prima equazione dalla seconda equazione, otteniamo:

La sua decisione sarà x1= -1 , x3=0 . Dati i valori x2 E x4 , che abbiamo dato, otteniamo la prima soluzione fondamentale del sistema (2) : .

Ora ci mettiamo (4) x2=0 , x4=1 . Noi abbiamo:

.

Risolviamo questo sistema usando il teorema di Cramer:

.

Otteniamo la seconda soluzione fondamentale del sistema (2) : .

Soluzioni beta1 , beta2 e trucco FSR sistemi (2) . Quindi la sua soluzione generale sarà

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Qui C1 , C2 sono costanti arbitrarie.

4. Trovane uno privato soluzione sistema eterogeneo(1) . Come al paragrafo 3 , invece del sistema (1) considerare il sistema equivalente (5) , costituito dalle prime due equazioni del sistema (1) .

(5)

Trasferiamo le incognite libere sul lato destro x2 E x4.

(6)

Diamo incognite gratis x2 E x4 valori arbitrari, ad esempio, x2=2 , x4=1 e collegarli (6) . Prendiamo il sistema

Questo sistema ha una soluzione unica (perché il suo determinante M2'0). Risolvendolo (usando il teorema di Cramer o il metodo di Gauss), otteniamo x1=3 , x3=3 . Dati i valori delle incognite libere x2 E x4 , noi abbiamo soluzione particolare di un sistema disomogeneo(1)α1=(3,2,3,1).

5. Ora resta da scrivere soluzione generale α di un sistema disomogeneo(1) : è uguale alla somma decisione privata questo sistema e soluzione generale del suo sistema omogeneo ridotto (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Questo significa: (7)

6. Visita medica. Per verificare se hai risolto correttamente il sistema (1) , abbiamo bisogno di una soluzione generale (7) sostituire in (1) . Se ogni equazione diventa un'identità ( C1 E C2 dovrebbe essere distrutto), allora la soluzione viene trovata correttamente.

Sostituiremo (7) per esempio, solo nell'ultima equazione del sistema (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Si ottiene: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Dove -1=-1. Abbiamo un'identità. Lo facciamo con tutte le altre equazioni del sistema (1) .

Commento. La verifica è di solito piuttosto ingombrante. Possiamo consigliare la seguente "verifica parziale": nella soluzione complessiva del sistema (1) assegnare alcuni valori a costanti arbitrarie e sostituire la soluzione particolare risultante solo nelle equazioni scartate (cioè in quelle equazioni da (1) che non sono inclusi in (5) ). Se ottieni identità, allora più probabilmente, soluzione del sistema (1) trovato correttamente (ma un tale controllo non dà piena garanzia di correttezza!). Ad esempio, se dentro (7) Mettere DO2=- 1 , C1=1, allora otteniamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Sostituendo nell'ultima equazione del sistema (1), si ha: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , cioè –1=–1. Abbiamo un'identità.

Esempio 2 Trova una soluzione generale a un sistema di equazioni lineari (1) , esprimendo le principali incognite in termini di libere.

Soluzione. Come in Esempio 1, comporre matrici UN e https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> di queste matrici. Ora lasciamo solo quelle equazioni del sistema (1) , i cui coefficienti sono inclusi in questo minore di base (cioè, abbiamo le prime due equazioni) e consideriamo il sistema costituito da essi, che è equivalente al sistema (1).

Trasferiamo le incognite libere ai membri di destra di queste equazioni.

sistema (9) risolviamo con il metodo gaussiano, considerando le parti giuste come membri liberi.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opzione 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opzione 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opzione 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opzione 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Metodo matriciale Soluzioni SLAU utilizzato per risolvere sistemi di equazioni in cui il numero di equazioni corrisponde al numero di incognite. Il metodo è utilizzato al meglio per risolvere sistemi di ordine basso. Il metodo matriciale per risolvere sistemi di equazioni lineari si basa sull'applicazione delle proprietà della moltiplicazione matriciale.

In questo modo, in altre parole metodo della matrice inversa, chiamato così, poiché la soluzione è ridotta alla solita equazione matriciale, per la cui soluzione è necessario trovare la matrice inversa.

Metodo di soluzione matriciale Uno SLAE con un determinante maggiore o minore di zero è il seguente:

Supponiamo che ci sia un SLE (sistema di equazioni lineari) con N sconosciuto (su un campo arbitrario):

Quindi, è facile tradurlo in una forma matriciale:

AS=B, Dove UNè la matrice principale del sistema, B E X- colonne di membri liberi e soluzioni del sistema, rispettivamente:

Moltiplica questa equazione di matrice a sinistra per UN -1- inversa da matrice a matrice LA: LA −1 (AX)=LA −1 B.

Perché LA −1 LA=E, Significa, X=LA−1 SI. Il lato destro dell'equazione fornisce una colonna di soluzioni al sistema iniziale. La condizione per l'applicabilità del metodo matriciale è la non degenerazione della matrice UN. Condizione necessaria e sufficiente per questo è che il determinante della matrice UN:

detA≠0.

Per sistema omogeneo di equazioni lineari, cioè. se vettore B=0, vale la regola opposta: il sistema AS=0è una soluzione non banale (cioè non uguale a zero) solo quando detA=0. Viene chiamata questa connessione tra le soluzioni di sistemi omogenei e disomogenei di equazioni lineari alternativa a Fredholm.

Pertanto, la soluzione dello SLAE con il metodo della matrice viene effettuata secondo la formula . Oppure, la soluzione SLAE viene trovata utilizzando matrice inversa UN -1.

È noto che una matrice quadrata UN ordine N SU N esiste una matrice inversa UN -1 solo se il suo determinante è diverso da zero. Così il sistema N equazioni algebriche lineari con N le incognite vengono risolte con il metodo matriciale solo se il determinante della matrice principale del sistema non è uguale a zero.

Nonostante vi siano limitazioni alla possibilità di utilizzare tale metodo e vi siano difficoltà computazionali per valori elevati dei coefficienti e sistemi di ordine elevato, il metodo può essere facilmente implementato su un computer.

Un esempio di risoluzione di uno SLAE disomogeneo.

Innanzitutto, controlliamo se il determinante della matrice dei coefficienti per SLAE sconosciuti non è uguale a zero.

Ora troviamo matrice di alleanze, trasponilo e sostituiscilo nella formula per determinare la matrice inversa.

Sostituiamo le variabili nella formula:

Ora troviamo le incognite moltiplicando la matrice inversa e la colonna dei termini liberi.

COSÌ, x=2; y=1; z=4.

Quando si passa dalla forma abituale di SLAE alla forma matriciale, prestare attenzione all'ordine delle variabili sconosciute nelle equazioni del sistema. Per esempio:

NON scrivere come:

È necessario, prima, ordinare le variabili incognite in ciascuna equazione del sistema e solo successivamente procedere alla notazione matriciale:

Inoltre, devi stare attento con la designazione di variabili sconosciute, invece di x 1 , x 2 , …, x n potrebbero esserci altre lettere. Per esempio:

in forma matriciale scriviamo:

Utilizzando il metodo matriciale, è preferibile risolvere sistemi di equazioni lineari in cui il numero di equazioni coincide con il numero di variabili incognite e il determinante della matrice principale del sistema non è uguale a zero. Quando ci sono più di 3 equazioni nel sistema, ci vorrà più sforzo computazionale per trovare la matrice inversa, quindi, in questo caso, è consigliabile utilizzare il metodo di Gauss per risolvere.