Sia definita la funzione y=ƒ(x) in un intorno del punto xo, eccetto, forse, per il punto xo stesso.

Formuliamo due definizioni equivalenti del limite di una funzione in un punto.

Definizione 1 (nel "linguaggio delle sequenze", o secondo Heine).

Il numero A è chiamato il limite della funzione y \u003d ƒ (x) nella fornace x 0 (o in x® x o), se per qualsiasi sequenza di valori ammissibili dell'argomento x n, n є N (x n ¹ x 0) convergendo a x o la sequenza dei valori corrispondenti della funzione ƒ(х n), n є N, converge al numero A

In questo caso, scrivi
oppure ƒ(x)->A in x→x o. Il significato geometrico del limite di una funzione: significa che per tutti i punti x sufficientemente vicini al punto x o, i corrispondenti valori della funzione differiscono arbitrariamente poco dal numero A.

Definizione 2 (nel "linguaggio di ε", o dopo Cauchy).

Il numero A è detto limite della funzione nel punto x o (o in x → x o) se per ogni ε positivo esiste un numero positivo δ tale che per ogni x¹ x o che soddisfa la disuguaglianza |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Il significato geometrico della funzione limite:

se per ogni ε-vicinanza del punto A esiste una tale δ-vicinanza del punto x o tale che per ogni x¹ ho da questa δ-vicinanza i valori corrispondenti della funzione ƒ(x) giacciono nella ε-vicinanza del punto A. In altre parole, i punti del grafico della funzione y = ƒ(x) giacciono all'interno di una striscia di larghezza 2ε delimitata dalle rette y=A+ ε , y=A-ε (vedi Fig. 110) . Ovviamente il valore di δ dipende dalla scelta di ε, quindi scriviamo δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Prova che

Soluzione: Prendi un arbitrario ε>0, trova δ=δ(ε)>0 tale che per ogni x che soddisfa la disuguaglianza |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Prendendo δ=ε/2, vediamo che per ogni x che soddisfa la disuguaglianza |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Limiti unilaterali

Nella definizione del limite della funzione si considera che x tende a x 0 in qualsiasi modo: rimanendo minore di x 0 (a sinistra di x 0), maggiore di x o (a destra di x o), o fluttuante attorno al punto x 0 .

Ci sono casi in cui il metodo di avvicinamento dell'argomento xa xo influisce in modo significativo sul valore del limite della funzione. Pertanto, viene introdotto il concetto di limiti unilaterali.

Il numero A 1 è chiamato il limite della funzione y \u003d ƒ (x) a sinistra nel punto x o, se per qualsiasi numero ε> 0 esiste un numero δ \u003d δ (ε)> 0 tale che per x є (x 0 -δ; x o), la disuguaglianza |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 o brevemente: ƒ (x o- 0) \u003d A 1 (notazione di Dirichlet) (vedi Fig. 111).

Il limite della funzione a destra è definito in modo simile, lo scriviamo usando i simboli:

In breve, il limite a destra è indicato con ƒ(x o +0)=A.

I limiti di una funzione a sinistra e a destra sono chiamati limiti unilaterali. Ovviamente, se esiste, allora esistono entrambi i limiti unilaterali, e A=A 1 =A 2 .

Anche l'affermazione inversa è vera: se entrambi i limiti ƒ(x 0 -0) e ƒ(x 0 +0) esistono e sono uguali, allora c'è un limite e A \u003d ƒ(x 0 -0).

Se A 1 ¹ A 2, allora questa corsia non esiste.

16.3. Limite della funzione in x ® ∞

Sia definita la funzione y=ƒ(x) nell'intervallo (-∞;∞). Il numero A è chiamato limite di funzioneƒ(x) A x→ ∞ , se per ogni numero positivo ε esiste un numero tale М=М()>0 che per ogni х che soddisfa la disuguaglianza |х|>М la disuguaglianza |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Il significato geometrico di questa definizione è il seguente: per "ε>0 $ M>0, che per x є(-∞; -M) o x є(M; +∞) i corrispondenti valori della funzione ƒ( x) cadono nel quartiere ε del punto A , cioè i punti del grafico giacciono in una striscia di larghezza 2ε, delimitata da linee rette y \u003d A + ε e y \u003d A-ε (vedi Fig. 112 ).

16.4. Funzione infinitamente grande (b.b.f.)

La funzione y=ƒ(x) si dice infinitamente grande per x→x 0 se per ogni numero M>0 esiste un numero δ=δ(M)>0, che per ogni x che soddisfa la disuguaglianza 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Ad esempio, la funzione y=1/(x-2) è un b.b.f. in x->2.

Se ƒ(x) tende all'infinito come x→x o e assume solo valori positivi, allora scriviamo

se solo valori negativi, allora

La funzione y \u003d ƒ (x), data sull'intera linea numerica, detto infinito per x→∞, se per ogni numero M>0 esiste un numero N=N(M)>0 tale che per ogni x che soddisfa la disuguaglianza |x|>N, la disuguaglianza |ƒ(x)|>M è soddisfatta . Corto:

Ad esempio, y=2x ha un b.b.f. in x→∞.

Si noti che se l'argomento х, tendente all'infinito, assume solo valori naturali, cioè хєN, allora il corrispondente b.b.f. diventa una sequenza infinitamente grande. Ad esempio, la sequenza v n =n 2 +1, n є N, è una sequenza infinitamente grande. Ovviamente, ogni b.b.f. in un intorno del punto x o è illimitato in questo intorno. Il contrario non è vero: una funzione illimitata potrebbe non essere un b.b.f. (Ad esempio, y=xsinx.)

Tuttavia, se limƒ(x)=A per x→x 0 , dove A è un numero finito, allora la funzione ƒ(x) è limitata in prossimità del punto x o.

Infatti, dalla definizione del limite della funzione segue che per x → x 0 vale la condizione |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

In questo articolo spiegheremo cos'è il limite di una funzione. Innanzitutto, spieghiamo i punti generali che sono molto importanti per comprendere l'essenza di questo fenomeno.

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Il concetto di limite

In matematica, il concetto di infinito, indicato dal simbolo ∞, è di fondamentale importanza. Dovrebbe essere inteso come un numero infinitamente grande + ∞ o infinitamente piccolo - ∞. Quando parliamo di infinito, spesso intendiamo entrambi questi significati contemporaneamente, ma la notazione della forma + ∞ o - ∞ non ​​dovrebbe essere sostituita semplicemente con ∞.

Il limite della funzione è scritto come lim x → x 0 f (x) . In basso scriviamo l'argomento principale x, e usiamo la freccia per indicare a quale valore x 0 tenderà. Se il valore x 0 è un numero reale specifico, allora abbiamo a che fare con il limite della funzione in un punto. Se il valore x 0 tende all'infinito (non importa, ∞, + ∞ o - ∞), allora dovremmo parlare del limite della funzione all'infinito.

Il limite è finito e infinito. Se è uguale a un numero reale specifico, ad es. lim x → x 0 f (x) = A , allora si dice limite finito, ma se lim x → x 0 f (x) = ∞ , lim x → x 0 f (x) = + ∞ o lim x → x 0 f (x) = - ∞ , quindi infinito.

Se non possiamo definire né un valore finito né uno infinito, significa che tale limite non esiste. Un esempio di questo caso sarebbe il limite del seno all'infinito.

In questo paragrafo spiegheremo come trovare il valore del limite di una funzione in un punto e all'infinito. Per fare ciò, dobbiamo introdurre definizioni di base e ricordare cosa sono le successioni numeriche, così come la loro convergenza e divergenza.

Definizione 1

Il numero A è il limite della funzione f (x) come x → ∞, se la sequenza dei suoi valori convergerà ad A per qualsiasi sequenza di argomenti infinitamente grande (negativa o positiva).

Il limite della funzione si scrive come segue: lim x → ∞ f (x) = A .

Definizione 2

Come x → ∞, il limite della funzione f(x) è infinito se anche la sequenza di valori per qualsiasi sequenza di argomenti infinitamente grande è infinitamente grande (positiva o negativa).

La notazione è simile a lim x → ∞ f (x) = ∞ .

Esempio 1

Dimostra l'uguaglianza lim x → ∞ 1 x 2 = 0 usando la definizione base di un limite per x → ∞ .

Soluzione

Iniziamo scrivendo una sequenza di valori della funzione 1 x 2 per una sequenza positiva infinitamente grande di valori dell'argomento x = 1 , 2 , 3 , . . . , N , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Vediamo che i valori diminuiranno gradualmente, tendendo a 0 . Guarda l'immagine:

x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - N , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Anche qui si può vedere una diminuzione monotona a zero, che conferma la correttezza del dato nella condizione di uguaglianza:

Risposta: La correttezza del dato nella condizione di uguaglianza è confermata.

Esempio 2

Calcolare il limite lim x → ∞ e 1 10 x .

Soluzione

Iniziamo, come prima, scrivendo sequenze di valori f (x) = e 1 10 x per una sequenza positiva di argomenti infinitamente grande. Ad esempio, x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → +∞ .

e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . == 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .

Vediamo che questa successione è infinitamente positiva, quindi f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Procediamo a scrivere i valori di una sequenza negativa infinitamente grande, ad esempio x = - 1 , - 4 , - 9 , - 16 , - 25 , . . . , - 10 2 , . . . → -∞ .

e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . == 0, 90; 0,67; 0,40; 0,20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . →∞

Poiché anch'essa tende a zero, allora f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

La soluzione del problema è chiaramente mostrata nell'illustrazione. I punti blu segnano la sequenza di valori positivi, i punti verdi segnano la sequenza di quelli negativi.

Risposta: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr e x → + ∞ 0 , pr e x → - ∞ .

Passiamo al metodo di calcolo del limite di una funzione in un punto. Per fare questo, dobbiamo sapere come definire correttamente il limite unilaterale. Questo ci sarà utile anche per trovare gli asintoti verticali del grafico della funzione.

Definizione 3

Il numero B è il limite della funzione f (x) a sinistra come x → a nel caso in cui la sequenza dei suoi valori converge a un dato numero per qualsiasi sequenza di argomenti della funzione x n , convergente a a , se i suoi valori rimangono inferiori a a (x n< a).

Tale limite si scrive per iscritto come lim x → a - 0 f (x) = B .

Ora formuliamo qual è il limite della funzione a destra.

Definizione 4

Il numero B è il limite della funzione f (x) a destra come x → a nel caso in cui la sequenza dei suoi valori converge a un dato numero per qualsiasi sequenza di argomenti della funzione x n , convergente a a , se i suoi valori rimangono maggiori di a (x n > a) .

Scriviamo questo limite come lim x → a + 0 f (x) = B .

Possiamo trovare il limite della funzione f (x) ad un certo punto quando ha limiti uguali sui lati sinistro e destro, cioè lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Nel caso di infinito di entrambi i limiti, anche il limite della funzione nel punto di partenza sarà infinito.

Ora spiegheremo queste definizioni scrivendo la soluzione di un problema specifico.

Esempio 3

Dimostrare che esiste un limite finito della funzione f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 nel punto x 0 = 2 e calcolarne il valore.

Soluzione

Per risolvere il problema occorre richiamare la definizione del limite di una funzione in un punto. Per prima cosa, dimostriamo che la funzione originale ha un limite a sinistra. Scriviamo la sequenza dei valori delle funzioni che convergeranno a x 0 = 2 se x n< 2:

f(-2) ; f(0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . == 8, 667; 2.667; 0,167; - 0,958; - 1.489; - 1.747; - 1.874; . . . ; - 1.998; . . . → - 2

Poiché la sequenza precedente si riduce a -2, possiamo scrivere che lim x → 2-0 1 6 x -8 2-8 = -2.

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

I valori della funzione in questa sequenza saranno simili a questo:

f(6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024 ; . . . == - 7, 333; - 5.333; - 3.833; - 2.958; - 2.489; - 2, 247; - 2, 124; . . . , - 2 , 001 , . . . → - 2

Anche questa successione converge a - 2 , quindi lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Abbiamo ottenuto che i limiti a destra ea sinistra di questa funzione saranno uguali, il che significa che il limite della funzione f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 esiste nel punto x 0 = 2 , e lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Puoi vedere l'avanzamento della soluzione nell'illustrazione (i punti verdi sono una sequenza di valori convergenti a x n< 2 , синие – к x n > 2).

Risposta: I limiti sui lati destro e sinistro di questa funzione saranno uguali, il che significa che il limite della funzione esiste e lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Per approfondire la teoria dei limiti, ti consigliamo di leggere l'articolo sulla continuità di una funzione in un punto e le principali tipologie di punti di discontinuità.

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numero costante UN chiamato limite sequenze(x n ) se per qualsiasi numero positivo arbitrariamente piccoloε > 0 esiste un numero N tale che tutti i valori x n, per cui n>N, soddisfa la disuguaglianza

|xn-a|< ε. (6.1)

Scrivilo come segue: oppure x n → UN.

La disuguaglianza (6.1) è equivalente alla doppia disuguaglianza

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

il che significa che i punti x n, a partire da un numero n>N, giacciono all'interno dell'intervallo (a-ε, a + ε ), cioè. cadere in qualsiasi piccoloε -vicinanza del punto UN.

Viene chiamata una sequenza che ha un limite convergente, Altrimenti - divergente.

Il concetto di limite di una funzione è una generalizzazione del concetto di limite di una successione, poiché il limite di una successione può essere considerato come il limite della funzione x n = f(n) di un argomento intero N.

Sia data una funzione f(x) e sia UN - punto limite il dominio di definizione di questa funzione D(f), cioè un tale punto il cui intorno contiene punti dell'insieme D(f) diversi da UN. Punto UN può o non può appartenere all'insieme D(f).

Definizione 1.Viene chiamato il numero costante A limite funzioni f(x) A x→a if per qualsiasi sequenza (x n ) di valori di argomenti tendenti a UN, le successioni corrispondenti (f(x n)) hanno lo stesso limite A.

Questa definizione è chiamata definire il limite di una funzione secondo Heine, O " nel linguaggio delle sequenze”.

Definizione 2. Viene chiamato il numero costante A limite funzioni f(x) A x→a se, dato un numero positivo arbitrariamente piccolo arbitrariamente ε, si può trovare tale δ>0 (a seconda di ε), che per tutti X che giace inε-intorni di un numero UN, cioè. Per X soddisfacendo la disuguaglianza
0 < x-a< ε , i valori della funzione f(x) risiedonoε-vicinanza del numero A, cioè|f(x)-A|< ε.

Questa definizione è chiamata definendo il limite di una funzione secondo Cauchy, O “nella lingua ε - δ “.

Le definizioni 1 e 2 sono equivalenti. Se la funzione f(x) come x →un ha limite uguale ad A, questo è scritto come

. (6.3)

Nel caso in cui la sequenza (f(x n)) aumenti (o diminuisca) indefinitamente per qualsiasi metodo di approssimazione X al tuo limite UN, allora diremo che ha la funzione f(x). limite infinito, e scrivilo come:

Viene chiamata una variabile (cioè una sequenza o funzione) il cui limite è zero infinitamente piccolo.

Viene chiamata una variabile il cui limite è uguale a infinito infinitamente grande.

Per trovare il limite in pratica, utilizzare i seguenti teoremi.

Teorema 1 . Se ogni limite esiste

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Commento. Espressioni come 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sono incerti, ad esempio, il rapporto tra due quantità infinitesimali o infinitamente grandi, e trovare un limite di questo tipo si chiama “rivelazione dell'incertezza”.

Teorema 2. (6.7)

quelli. è possibile passare al limite alla base del grado ad esponente costante, in particolare, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Dove e » 2.7 è la base del logaritmo naturale. Le formule (6.10) e (6.11) sono chiamate le prime meraviglioso limite e il secondo limite notevole.

Nella pratica vengono utilizzati anche i corollari della formula (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

in particolare il limite

Se x → a e contemporaneamente x > a, quindi scrivi x→a + 0. Se, in particolare, a = 0, allora al posto del simbolo 0+0 si scrive +0. Analogamente, se x→a e contemporaneamente x a-0. Numeri e sono nominati di conseguenza. limite destro E limite sinistro funzioni f(x) al punto UN. Perché il limite della funzione f(x) esista come x→a è necessario e sufficiente per . Viene chiamata la funzione f(x). continuo al punto x 0 se limite

. (6.15)

La condizione (6.15) può essere riscritta come:

,

cioè il passaggio al limite sotto il segno di una funzione è possibile se questa è continua in un dato punto.

Se l'uguaglianza (6.15) viene violata, lo diciamo A x = xo funzione f(x) Esso ha spacco. Consideriamo la funzione y = 1/x. Il dominio di questa funzione è l'insieme R, ad eccezione di x = 0. Il punto x = 0 è un punto limite dell'insieme D(f), poiché in uno qualsiasi dei suoi dintorni, cioè, qualsiasi intervallo aperto contenente il punto 0 contiene punti da D(f), ma non appartiene esso stesso a questo insieme. Il valore f(x o)= f(0) non è definito, quindi la funzione ha una discontinuità nel punto x o = 0.

Viene chiamata la funzione f(x). continuo a destra in un punto x o se limite

,

E continuo a sinistra in un punto x o se limite

.

Continuità di una funzione in un punto x o equivale alla sua continuità in questo punto sia a destra che a sinistra.

Perché una funzione sia continua in un punto x o, ad esempio, a destra, è necessario, in primo luogo, che vi sia un limite finito , e in secondo luogo, che tale limite sia uguale a f(x o). Pertanto, se almeno una di queste due condizioni non è soddisfatta, la funzione avrà un gap.

1. Se il limite esiste e non è uguale a f(x o), allora lo dicono funzione f(x) al punto Xo ha rottura del primo tipo, O salto.

2. Se il limite è+∞ o -∞ o non esiste, allora lo diciamo in punto x o la funzione ha un'interruzione secondo tipo.

Ad esempio, la funzione y = ctg x in x→ +0 ha un limite pari a +∞, quindi, nel punto x=0 ha una discontinuità di seconda specie. Funzione y = E(x) (parte intera di X) nei punti con ascisse intere presenta discontinuità del primo tipo, o salti.

Viene chiamata una funzione che è continua in ogni punto dell'intervallo continuo V. Una funzione continua è rappresentata da una curva continua.

Molti problemi associati alla crescita continua di una certa quantità portano al secondo limite notevole. Tali compiti, ad esempio, includono: la crescita del contributo secondo la legge dell'interesse composto, la crescita della popolazione del paese, il decadimento di una sostanza radioattiva, la moltiplicazione dei batteri, ecc.

Prendere in considerazione esempio di Ya. I. Perelman, che dà l'interpretazione del numero e nel problema dell'interesse composto. Numero e c'è un limite . Nelle casse di risparmio, gli interessi vengono aggiunti annualmente al capitale fisso. Se la connessione viene effettuata più spesso, il capitale cresce più velocemente, poiché una grande quantità è coinvolta nella formazione dell'interesse. Facciamo un esempio puramente teorico, molto semplificato. Lascia che la banca metta 100 den. unità al tasso del 100% annuo. Se il denaro fruttifero viene aggiunto al capitale fisso solo dopo un anno, allora a questo punto 100 denari. unità si trasformerà in 200 den. Ora vediamo in cosa si trasformeranno 100 den. unità, se ogni sei mesi viene aggiunto denaro per interessi al capitale fisso. Dopo mezzo anno 100 den. unità crescere fino a 100× 1,5 = 150, e dopo altri sei mesi - a 150× 1,5 \u003d 225 (den. unità). Se l'adesione viene effettuata ogni 1/3 dell'anno, dopo un anno 100 den. unità trasforma in 100× (1 +1/3) 3 » 237 (unità den.). Aumenteremo il periodo di tempo per l'aggiunta di denaro per interessi a 0,1 anno, 0,01 anno, 0,001 anno e così via. Quindi su 100 den. unità un anno dopo:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unità den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unità den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unità den.).

Con una riduzione illimitata dei termini di partecipazione agli interessi, il capitale maturato non cresce all'infinito, ma si avvicina ad un certo limite pari a circa 271. Il capitale posto al 100% annuo non può aumentare più di 2,71 volte, anche se gli interessi maturati fossero aggiunto alla capitale ogni secondo perché il limite

Esempio 3.1.Usando la definizione del limite di una successione numerica, dimostra che la successione x n =(n-1)/n ha limite uguale a 1.

Soluzione.Dobbiamo dimostrare che qualunque cosaε > 0 prendiamo, per esso esiste un numero naturale N tale che per ogni n N la disuguaglianza|xn-1|< ε.

Prendi qualsiasi e > 0. Poiché ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, allora per trovare N basta risolvere la disuguaglianza 1/n< e. Quindi n>1/ e e, quindi, N può essere preso come la parte intera di 1/ e , N = E(1/ e ). Abbiamo così dimostrato che il limite .

Esempio 3.2 . Trova il limite di una successione data da un termine comune .

Soluzione.Applica il teorema della somma limite e trova il limite di ciascun termine. Per n→ ∞ il numeratore e denominatore di ogni termine tende all'infinito, e non possiamo applicare direttamente il teorema del limite del quoziente. Pertanto, prima ci trasformiamo x n, dividendo il numeratore e il denominatore del primo termine per nn 2, e il secondo N. Quindi, applicando il teorema del limite del quoziente e il teorema del limite della somma, troviamo:

.

Esempio 3.3. . Trovare .

Soluzione. .

Qui abbiamo usato il teorema del limite di grado: il limite di un grado è uguale al grado del limite della base.

Esempio 3.4 . Trovare ( ).

Soluzione.È impossibile applicare il teorema del limite di differenza, poiché abbiamo un'incertezza della forma ∞-∞ . Trasformiamo la formula del termine generale:

.

Esempio 3.5 . Data una funzione f(x)=2 1/x . Dimostrare che il limite non esiste.

Soluzione.Usiamo la definizione 1 del limite di una funzione in termini di una successione. Prendi una sequenza ( x n ) convergente a 0, cioè Mostriamo che il valore f(x n)= si comporta diversamente per sequenze diverse. Sia x n = 1/n. Ovviamente, poi il limite Scegliamo ora come x n una successione con termine comune x n = -1/n, anch'essa tendente a zero. Pertanto, non vi è alcun limite.

Esempio 3.6 . Dimostrare che il limite non esiste.

Soluzione.Sia x 1 , x 2 ,..., x n ,... una successione per la quale
. Come si comporta la successione (f(x n)) = (sin x n ) per diversi x n → ∞

Se x n \u003d p n, allora sin x n \u003d sin p n = 0 per tutti N e limitare If
xn=2 p n+ p /2, allora sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 per tutti N e quindi il limite. Quindi non esiste.

Widget per il calcolo dei limiti on-line

Nella casella in alto, invece di sin(x)/x, inserisci la funzione di cui vuoi trovare il limite. Nella casella in basso, inserisci il numero a cui tende x e fai clic sul pulsante Calcola, ottieni il limite desiderato. E se fai clic su Mostra passaggi nell'angolo in alto a destra nella finestra dei risultati, otterrai una soluzione dettagliata.

Regole di input della funzione: sqrt(x) - radice quadrata, cbrt(x) - radice cubica, exp(x) - esponente, ln(x) - logaritmo naturale, sin(x) - seno, cos(x) - coseno, tan (x) - tangente, cot(x) - cotangente, arcsin(x) - arcseno, arccos(x) - arcoseno, arctan(x) - arcotangente. Segni: * moltiplicazione, / divisione, ^ elevamento a potenza, invece di infinito Infinito. Esempio: la funzione viene immessa come sqrt(tan(x/2)).

Oggi alla lezione analizzeremo sequenza rigorosa E definizione rigorosa del limite di una funzione, oltre a imparare a risolvere i corrispondenti problemi di natura teorica. L'articolo è destinato principalmente agli studenti del primo anno di scienze naturali e specialità ingegneristiche che hanno iniziato a studiare la teoria dell'analisi matematica e hanno incontrato difficoltà nella comprensione di questa sezione della matematica superiore. Inoltre, il materiale è abbastanza accessibile agli studenti delle scuole superiori.

Nel corso degli anni di esistenza del sito, ho ricevuto una dozzina di lettere scortesi con approssimativamente il seguente contenuto: "Non capisco bene l'analisi matematica, cosa dovrei fare?", "Non capisco affatto matan, io' Sto pensando di abbandonare gli studi", ecc. In effetti, è il matan che spesso sfoltisce il gruppo di studenti dopo la primissima sessione. Perché le cose sono così? Perché l'argomento è impensabilmente complesso? Affatto! La teoria dell'analisi matematica non è così difficile in quanto è peculiare. E devi accettarla e amarla per quello che è =)

Cominciamo con il caso più difficile. Prima di tutto, non abbandonare la scuola. Capisci bene, smettila, avrà sempre tempo ;-) Certo, se tra un anno o due dalla specialità scelta ti farà star male, allora sì - dovresti pensarci (e non colpire la febbre!) sul cambiamento delle attività. Ma per ora vale la pena continuare. E, per favore, dimentica la frase "Non capisco niente" - non succede che tu non capisca proprio niente.

Cosa fare se la teoria è cattiva? A proposito, questo vale non solo per l'analisi matematica. Se la teoria è cattiva, allora prima devi mettere SERIAMENTE in pratica. Allo stesso tempo, due compiti strategici vengono risolti contemporaneamente:

– In primo luogo, una parte significativa delle conoscenze teoriche si è formata attraverso la pratica. E così tante persone capiscono la teoria attraverso ... - esatto! No, no, non ci hai pensato.

- E, in secondo luogo, è molto probabile che le abilità pratiche ti "allungino" durante l'esame, anche se ..., ma non sintonizziamoci così! Tutto è reale e tutto viene davvero “sollevato” in un tempo abbastanza breve. L'analisi matematica è la mia sezione preferita della matematica superiore, e quindi semplicemente non ho potuto fare a meno di darti una mano:

All'inizio del 1° semestre, i limiti di sequenza e i limiti di funzione di solito passano. Non capisci di cosa si tratta e non sai come risolverli? Inizia con un articolo Limiti di funzione, in cui il concetto stesso è considerato "sulle dita" e vengono analizzati gli esempi più semplici. Quindi lavora attraverso altre lezioni sull'argomento, inclusa una lezione su all'interno delle sequenze, su cui in realtà ho già formulato una definizione rigorosa.

Quali icone oltre ai segni e al modulo di disuguaglianza conosci?

- un lungo bastoncino verticale recita così: "tale che", "tale che", "tale che" o "tale che", nel nostro caso, ovviamente, stiamo parlando di un numero - quindi "tale che";

- per ogni "en" maggiore di ;

– il segno del modulo significa distanza, cioè. questa voce ci dice che la distanza tra i valori è inferiore a epsilon.

Bene, è mortalmente difficile? =)

Dopo aver imparato la pratica, ti aspetto nel paragrafo seguente:

In effetti, pensiamo un po ': come formulare una definizione rigorosa di una sequenza? ... La prima cosa che mi viene in mente alla luce sessione pratica: "il limite di una sequenza è il numero al quale i membri della sequenza si avvicinano infinitamente."

Ok, scriviamo sotto sequenza :

È facile capirlo sotto sequenza approccio infinitamente vicino a -1 e termini pari - a "unità".

Forse due limiti? Ma allora perché una sequenza non può averne dieci o venti? Così puoi andare lontano. A questo proposito, è logico supporre che se la sequenza ha un limite, allora è unica.

Nota : la successione non ha limite, ma da essa si possono distinguere due sottosuccessioni (vedi sopra), ognuna delle quali ha il proprio limite.

Pertanto, la definizione di cui sopra risulta essere insostenibile. Sì, funziona per casi come (che non ho usato correttamente nelle spiegazioni semplificate di esempi pratici), ma ora dobbiamo trovare una definizione rigorosa.

Tentativo due: “il limite di una sequenza è il numero a cui TUTTI i membri della sequenza si avvicinano, con l'eccezione, forse, del loro finale le quantità." Questo è più vicino alla verità, ma ancora non del tutto accurato. Quindi, ad esempio, la sequenza la metà dei termini non si avvicina affatto allo zero - sono semplicemente uguali ad esso =) A proposito, la "luce lampeggiante" assume generalmente due valori fissi.

La formulazione non è difficile da chiarire, ma poi sorge un'altra domanda: come scrivere la definizione in termini matematici? Il mondo scientifico ha lottato a lungo con questo problema fino a quando la situazione non è stata risolta. famoso maestro, che, in sostanza, formalizzava l'analisi matematica classica in tutto il suo rigore. Cauchy si è offerto di operare dintorni che ha notevolmente avanzato la teoria.

Considera un punto e il suo arbitrario-quartiere:

Il valore di "epsilon" è sempre positivo, e inoltre, abbiamo il diritto di sceglierlo noi stessi. Supponiamo che il dato intorno contenga un insieme di termini (non necessariamente tutti) qualche sequenza. Come annotare il fatto che, ad esempio, il decimo mandato è caduto nel quartiere? Lascia che sia sul lato destro di esso. Quindi la distanza tra i punti e dovrebbe essere inferiore a "epsilon": . Se invece la "x decima" si trova a sinistra del punto "a", allora la differenza sarà negativa, e quindi ad essa va aggiunto il segno modulo: .

Definizione: un numero è chiamato il limite di una sequenza se per ogni i suoi dintorni (preselezionato) c'è un numero naturale - TALE quello TUTTO i membri della sequenza con numeri più alti saranno all'interno dell'intorno:

O più breve: se

In altre parole, non importa quanto piccolo assumiamo il valore di "epsilon", prima o poi la "coda infinita" della sequenza sarà COMPLETAMENTE in questa vicinanza.

Quindi, ad esempio, la "coda infinita" della sequenza COMPLETAMENTE va in qualsiasi arbitrariamente piccolo quartiere del punto. Pertanto, questo valore è il limite della sequenza per definizione. Ti ricordo che viene chiamata una sequenza il cui limite è zero infinitesimale.

Si noti che per la sequenza non è più possibile dire "coda infinita verrà”- i membri con numeri dispari sono infatti uguali a zero e “non andare da nessuna parte” =) Ecco perché il verbo “finirà” è usato nella definizione. E, naturalmente, anche i membri di una sequenza come "non vanno da nessuna parte". A proposito, controlla se il numero sarà il suo limite.

Dimostriamo ora che la successione non ha limite. Si consideri, ad esempio, un intorno del punto . È abbastanza chiaro che non esiste un tale numero, dopodiché TUTTI i membri saranno in questo quartiere - i membri dispari "salteranno" sempre a "meno uno". Per una ragione simile, non c'è limite al punto .

Correggi il materiale con la pratica:

Esempio 1

Dimostrare che il limite della successione è zero. Indicare il numero dopo il quale è garantito che tutti i membri della sequenza si trovino all'interno di un qualsiasi intorno arbitrariamente piccolo del punto.

Nota : per molte sequenze, il numero naturale desiderato dipende dal valore, da qui la notazione .

Soluzione: prendere in considerazione arbitrario Ci sarà numero - tale che TUTTI i membri con numeri più alti saranno all'interno di questo quartiere:

Per mostrare l'esistenza del numero richiesto, esprimiamo in termini di .

Poiché per qualsiasi valore "en", il segno del modulo può essere rimosso:

Usiamo azioni "scolastiche" con disuguaglianze che ho ripetuto nelle lezioni Disuguaglianze lineari E Ambito di funzione. In questo caso, una circostanza importante è che "epsilon" e "en" sono positivi:

Poiché a sinistra stiamo parlando di numeri naturali e il lato destro è generalmente frazionario, deve essere arrotondato:

Nota : a volte viene aggiunta un'unità al diritto per la riassicurazione, ma in realtà questo è eccessivo. Relativamente parlando, se indeboliamo anche il risultato arrotondando per difetto, allora il numero adatto più vicino ("tre") soddisferà comunque la disuguaglianza originale.

E ora guardiamo alla disuguaglianza e ricordiamo che inizialmente abbiamo considerato arbitrario-quartiere, cioè "epsilon" può essere uguale a chiunque numero positivo.

Conclusione: per qualsiasi vicinato arbitrariamente piccolo del punto, il valore . Pertanto, un numero è il limite di una sequenza per definizione. Q.E.D.

A proposito, dal risultato è chiaramente visibile uno schema naturale: più piccolo è l'intorno, maggiore è il numero dopo il quale TUTTI i membri della sequenza saranno in questo intorno. Ma non importa quanto sia piccola la "epsilon", ci sarà sempre una "coda infinita" dentro e fuori - anche se è grande, comunque finale numero di membri.

Come sono le impressioni? =) Sono d'accordo che è strano. Ma rigorosamente! Per favore, rileggi e ripensaci.

Considera un esempio simile e familiarizza con altre tecniche:

Esempio 2

Soluzione: per definizione di successione, è necessario dimostrarlo (Parla ad alta voce!!!).

Prendere in considerazione arbitrario-vicinanza del punto e controllo, esiste numero naturale - tale che per tutti i numeri maggiori vale la seguente disuguaglianza:

Per mostrare l'esistenza di tale , è necessario esprimere "en" attraverso "epsilon". Semplifichiamo l'espressione sotto il segno del modulo:

Il modulo distrugge il segno meno:

Il denominatore è positivo per qualsiasi "en", quindi i bastoncini possono essere rimossi:

Mescolare:

Ora dovremmo prendere la radice quadrata, ma il problema è che per alcuni "epsilon" il lato destro sarà negativo. Per evitare questo problema rafforziamo modulo di disuguaglianza:

Perché è possibile farlo? Se, relativamente parlando, risulta che , allora la condizione sarà ancora più soddisfatta. Il modulo può solo aumentare numero ricercato , e questo andrà bene anche per noi! In parole povere, se il centesimo è adatto, allora il duecentesimo andrà bene! Secondo la definizione, devi mostrare l'esistenza stessa del numero(almeno alcuni), dopodiché tutti i membri della sequenza saranno nelle vicinanze. A proposito, è per questo che non abbiamo paura dell'arrotondamento finale del lato destro verso l'alto.

Estrazione della radice:

E arrotonda il risultato:

Conclusione: Perché il valore di "epsilon" è stato scelto arbitrariamente, quindi per qualsiasi vicinato arbitrariamente piccolo del punto, il valore , tale che la disuguaglianza . Così, a-priorato. Q.E.D.

io consiglio particolarmente comprendere il rafforzamento e l'indebolimento delle disuguaglianze: questi sono metodi tipici e molto comuni di analisi matematica. L'unica cosa di cui hai bisogno per monitorare la correttezza di questa o quell'azione. Quindi, ad esempio, la disuguaglianza senza significato allentare, sottraendo, diciamo, uno:

Di nuovo, condizionale: se il numero si adatta esattamente, il precedente potrebbe non adattarsi più.

L'esempio seguente è per una soluzione autonoma:

Esempio 3

Usando la definizione di successione, dimostralo

Soluzione breve e risposta alla fine della lezione.

Se la sequenza infinitamente grande, allora la definizione del limite è formulata in modo simile: un punto è detto limite di una successione se per qualsiasi, arbitrariamente grande esiste un numero tale che per tutti i numeri maggiori la disuguaglianza sarà soddisfatta. Il numero è chiamato l'intorno del punto "più infinito":

In altre parole, non importa quanto grande sia il valore che assumiamo, la “coda infinita” della successione andrà necessariamente nell'intorno del punto , lasciando a sinistra solo un numero finito di termini.

Esempio di lavoro:

E una notazione abbreviata: if

Per il caso, scrivi tu stesso la definizione. La versione corretta è alla fine della lezione.

Dopo aver "riempito" la mano di esempi pratici e capito la definizione del limite di una sequenza, puoi rivolgerti alla letteratura sull'analisi matematica e / o al tuo quaderno di lezioni. Consiglio di scaricare il primo volume di Bohan (più facile - per studenti part-time) e Fichtengoltz (più dettagliato e approfondito). Degli altri autori, consiglio Piskunov, il cui corso è incentrato sulle università tecniche.

Cerca di studiare coscienziosamente i teoremi che riguardano il limite della successione, le loro dimostrazioni, le conseguenze. All'inizio, la teoria può sembrare "torbida", ma è normale - ci vuole solo un po' di tempo per abituarsi. E molti avranno anche un assaggio!

Definizione rigorosa del limite di una funzione

Cominciamo con la stessa cosa: come formulare questo concetto? La definizione verbale del limite di una funzione è formulata molto più semplicemente: “un numero è il limite di una funzione, se con “x” tendente a (sia a destra che a sinistra), i valori corrispondenti della funzione tendono a » (vedi disegno). Tutto sembra essere normale, ma le parole sono parole, il significato è significato, un'icona è un'icona e la rigorosa notazione matematica non è sufficiente. E nel secondo paragrafo, conosceremo due approcci per risolvere questo problema.

Sia definita la funzione su qualche intervallo tranne, possibilmente, per il punto . Nella letteratura educativa, è generalmente accettato che la funzione lì Non definito:

Questa scelta evidenzia l'essenza della funzione limite: "X" infinitamente vicino approcci e i valori corrispondenti della funzione sono infinitamente vicino A . In altre parole, il concetto di limite non implica un "approccio esatto" ai punti, vale a dire approssimazione infinitamente vicina, non importa se la funzione è definita nel punto o meno.

La prima definizione del limite di una funzione, non a caso, è formulata utilizzando due successioni. In primo luogo, i concetti sono correlati e, in secondo luogo, i limiti delle funzioni vengono solitamente studiati dopo i limiti delle successioni.

Considera la sequenza punti (non sul disegno) appartenente all'intervallo e altro che, Quale converge A . Quindi anche i valori corrispondenti della funzione formano una sequenza numerica, i cui membri si trovano sull'asse y.

Limite della funzione di Heine per ogni sequenze di punti (appartenente a e diverso da), che converge al punto , converge a .

Eduard Heine è un matematico tedesco. ... E non c'è bisogno di pensare niente del genere, c'è solo un gay in Europa - questo è Gay-Lussac =)

La seconda definizione del limite è stata costruita... sì, sì, hai ragione. Ma prima, diamo un'occhiata al suo design. Consideriamo un intorno arbitrario del punto (quartiere "nero"). Sulla base del paragrafo precedente, la notazione significa che un certo valore la funzione si trova all'interno dell'ambiente "epsilon".

Ora troviamo il quartiere che corrisponde al quartiere dato (disegna mentalmente linee tratteggiate nere da sinistra a destra e poi dall'alto verso il basso). Si noti che il valore è scelto lungo la lunghezza del segmento più piccolo, in questo caso, lungo la lunghezza del segmento sinistro più corto. Inoltre, la vicinanza "cremisi" di un punto può anche essere ridotta, poiché nella seguente definizione il fatto stesso dell'esistenza è importante questo quartiere. E, allo stesso modo, la voce indica che un valore è all'interno del quartiere "delta".

Limite di Cauchy di una funzione: il numero è detto limite della funzione nel punto if per ogni preselezionato quartiere (arbitrariamente piccolo), esiste-vicinanza del punto , COME che: COME SOLO valori (posseduto) inclusi in quest'area: (frecce rosse)- COSÌ IMMEDIATAMENTE i valori corrispondenti della funzione sono garantiti per entrare nel -vicinato: (frecce blu).

Devo avvertirti che per essere più comprensibile ho improvvisato un po', quindi non abusarne =)

Stenografia: se

Qual è l'essenza della definizione? In senso figurato, diminuendo all'infinito l'intorno, "accompagniamo" i valori della funzione fino al suo limite, non lasciando loro alternative per avvicinarsi altrove. Abbastanza insolito, ma di nuovo rigorosamente! Per rendere l'idea giusta, rileggi di nuovo la formulazione.

! Attenzione: se hai solo bisogno di formulare definizione secondo Heine o solo Definizione di Cauchy per favore non dimenticartene significativo commento preliminare: "Considera una funzione che è definita su un intervallo tranne forse un punto". L'ho affermato una volta all'inizio e non l'ho ripetuto ogni volta.

Secondo il corrispondente teorema dell'analisi matematica, le definizioni di Heine e Cauchy sono equivalenti, ma la seconda variante è la più nota (lo farei ancora!), che è anche chiamato il "limite sulla lingua":

Esempio 4

Usando la definizione di limite, dimostralo

Soluzione: la funzione è definita su tutta la retta numerica ad eccezione del punto . Usando la definizione di , dimostriamo l'esistenza di un limite in un dato punto.

Nota : la grandezza del quartiere "delta" dipende dalla "epsilon", da cui la designazione

Prendere in considerazione arbitrario-quartiere. L'attività è utilizzare questo valore per verificare se esiste- quartiere, COME, che dalla disuguaglianza segue la disuguaglianza .

Supponendo che , trasformiamo l'ultima disuguaglianza:
(scomporre il trinomio quadrato)

Oggi considereremo una selezione di nuovi problemi per trovare il limite in un punto. Cominciamo con semplici esempi di sostituzione del valore, più spesso considerati nell'undicesimo anno del curriculum scolastico in matematica.
Successivamente, ci fermiamo e analizziamo i limiti con incertezze, i metodi per rivelare le incertezze, l'applicazione del primo e del secondo limite importante e le loro conseguenze.
Gli esempi forniti non copriranno completamente l'intero argomento, ma molte domande saranno chiarite.

Trova il limite di una funzione in un punto:

Esempio 46. Il limite di una funzione in un punto è determinato dalla sostituzione

Poiché il denominatore della frazione non diventa zero, ogni laureato della scuola può risolvere un problema del genere.

Esempio 47
Un altro compito, in realtà per l'undicesimo anno.

Esempio 48. Utilizzando il metodo di sostituzione, determiniamo il limite della funzione
Ne consegue dalla condizione che il bordo della funzione è uguale a due se la variabile tende all'infinito.

Esempio 49. La sostituzione diretta x=2 mostra che la frontiera nel punto ha la singolarità (0/0) . Ciò significa che sia il numeratore che il denominatore contengono implicitamente (x-2) .
Eseguiamo la scomposizione dei polinomi in fattori primi, quindi riduciamo la frazione del fattore specificato (x-2).
Il limite della frazione che rimane si trova con il metodo della sostituzione.

Esempio 50. Il limite di una funzione in un punto ha una singolarità di tipo (0/0) .
Eliminiamo la differenza nelle radici moltiplicando per la somma delle radici (espressione aggiunta), espandiamo il polinomio.
Inoltre, semplificando la funzione, troviamo il valore del limite nell'unità.

Esempio 51. Considera un problema con limiti complessi.
Finora, l'irrazionalità è stata eliminata moltiplicando per l'espressione coniugata.
Qui, al denominatore, abbiamo una radice cubica, quindi devi usare la formula per la differenza dei cubi.
Tutte le altre trasformazioni si ripetono da condizione a condizione.
Scomponiamo il polinomio in fattori primi,
quindi riduciamo di un fattore che introduce una singolarità (0)
e sostituendo x=-3 troviamo il limite della funzione nel punto

Esempio 52. Riveliamo una singolarità della forma (0/0) utilizzando il primo limite notevole e le sue conseguenze.
Innanzitutto, scriviamo la differenza dei seni secondo la formula trigonometrica
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Inoltre, integriamo il numeratore e il denominatore della frazione con espressioni necessarie per evidenziare limiti importanti.
Passiamo al prodotto dei limiti e valutiamo l'incorporamento di ciascun fattore.

Qui abbiamo usato il primo limite notevole:

e le conseguenze che ne derivano


dove a e b sono numeri arbitrari.

Esempio 53. Per rivelare l'incertezza quando la variabile tende a zero, usiamo il secondo meraviglioso limite.
Per isolare l'esponente, portiamo l'esponente al 2° meraviglioso limite, e tutto il resto che rimane nella transizione limite darà il grado dell'esponente.


Qui abbiamo usato il corollario del secondo limite notevole:

Calcolare il limite di una funzione in un punto:

Esempio 54. Devi trovare il limite di una funzione in un punto. Una semplice sostituzione di valore mostra che abbiamo una divisione di zeri.
Per rivelarlo, scomponiamo i polinomi in semplici fattori ed eseguiamo la riduzione per il fattore che introduce la singolarità (x + 2) .
Tuttavia, il numeratore contiene inoltre (x+2) , il che significa che in x=-2 il confine è zero.

Esempio 55. Abbiamo una funzione frazionaria - nel numeratore la differenza delle radici, nel denominatore - un log.
La sostituzione diretta fornisce una singolarità della forma (0/0) .
La variabile tende a meno uno, il che significa che dovresti cercare ed eliminare le caratteristiche della forma (x+1) .
Per fare ciò, ci liberiamo dell'irrazionalità moltiplicando per la somma delle radici e scomponiamo la funzione quadratica in fattori semplici.
Dopo tutte le riduzioni, con il metodo di sostituzione, determiniamo il limite della funzione nel punto

Esempio 56. Dall'aspetto della funzione sublimit, si potrebbe concludere erroneamente che dovrebbe essere applicato il primo limite, ma i calcoli hanno mostrato che tutto è molto più semplice.
Per prima cosa scrivi la somma dei seni al denominatore sin(2x)+sen(6x)=2sen(4x)*cos(2x).
Successivamente, dipingiamo tg(2x) e il seno del doppio angolo sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Semplifichiamo i seni e calcoliamo il limite della frazione con il metodo di sostituzione

Esempio 57. Il compito della capacità di utilizzare il secondo meraviglioso limite:
la linea di fondo è che dovresti selezionare la parte che fornisce l'esponente.
Il resto che rimane nell'esponente nel passaggio al limite darà il grado dell'esponente.


L'analisi dei compiti nei limiti delle funzioni e delle sequenze non finisce qui.
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