Istruzione. Per una soluzione in linea, è necessario specificare un'espressione di matrice. Nella seconda fase sarà necessario chiarire le dimensioni delle matrici.
Operazioni valide: moltiplicazione (*), addizione (+), sottrazione (-), inversione di matrice A^(-1) , elevazione a potenza (A^2 , B^3), trasposizione di matrice (A^T).Operazioni valide: moltiplicazione (*), addizione (+), sottrazione (-), inversione di matrice A^(-1) , elevazione a potenza (A^2 , B^3), trasposizione di matrice (A^T).
Per eseguire un elenco di operazioni, utilizzare il separatore punto e virgola (;). Ad esempio, per eseguire tre operazioni:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
dovrà essere scritto così: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Una matrice è una tabella numerica rettangolare con m righe e n colonne, quindi la matrice può essere rappresentata schematicamente come un rettangolo.
Matrice zero (matrice nulla)è chiamata matrice, i cui elementi sono tutti uguali a zero e denotano 0.
matrice identitàè chiamata matrice quadrata della forma
Due matrici A e B sono uguali se hanno le stesse dimensioni e gli elementi corrispondenti sono uguali.
Matrice singolareè chiamata matrice il cui determinante è uguale a zero (Δ = 0).
Definiamo operazioni di base sulle matrici.
Addizione di matrici
Definizione. La somma di due matrici della stessa dimensione è una matrice delle stesse dimensioni, i cui elementi si trovano dalla formula
. Denotato C = A+B. Esempio 6 . .
L'operazione di addizione di matrici si estende al caso di qualsiasi numero di termini. Ovviamente A+0=A .
Sottolineiamo ancora una volta che possono essere sommate solo matrici della stessa dimensione; per matrici di dimensioni diverse, l'operazione di addizione non è definita.
Sottrazione di matrici
Definizione. La differenza B-A delle matrici B e A della stessa dimensione è una matrice C tale che A + C = B.Moltiplicazione di matrici
Definizione. Il prodotto di una matrice per un numero α è la matrice ottenuta da A moltiplicando tutti i suoi elementi per α, .Definizione. Si diano due matrici
e , e il numero di colonne A è uguale al numero di righe B. Il prodotto di A per B è una matrice i cui elementi si trovano con la formula 
.
Denotato C = A B.
Schematicamente, l'operazione di moltiplicazione di matrici può essere rappresentata come segue:
e la regola per calcolare un elemento in un prodotto:
Sottolineiamo ancora una volta che il prodotto A B ha senso se e solo se il numero di colonne del primo fattore è uguale al numero di righe del secondo, mentre il prodotto produce una matrice il cui numero di righe è uguale al numero di righe del primo fattore e il numero di colonne è uguale al numero di colonne del secondo. Puoi controllare il risultato della moltiplicazione tramite uno speciale calcolatore online.
Esempio 7 . Dati di matrice 
E 
. Trova le matrici C = A·B e D = B·A.
Soluzione.
Innanzitutto notiamo che il prodotto A B esiste perché il numero di colonne in A è uguale al numero di righe in B.
Si noti che nel caso generale A·B≠B·A , i.e. il prodotto di matrici è anticommutativo.
Troviamo B·A (la moltiplicazione è possibile).
Esempio 8 . Data una matrice 
. Trova 3A 2 - 2A.
Soluzione.
.
; 
.
.
Notiamo il seguente fatto curioso.
Come sai, il prodotto di due numeri diversi da zero non è uguale a zero. Per le matrici, tale circostanza potrebbe non verificarsi, ovvero il prodotto di matrici diverse da zero potrebbe risultare uguale alla matrice nulla.
Questa guida ti aiuterà a imparare a farlo operazioni matriciali: addizione (sottrazione) di matrici, trasposizione di una matrice, moltiplicazione di matrici, trovare l'inverso di una matrice. Tutto il materiale è presentato in una forma semplice e accessibile, vengono forniti esempi pertinenti, quindi anche una persona impreparata può imparare a eseguire azioni con le matrici. Per l'autocontrollo e l'autotest, puoi scaricare gratuitamente un calcolatore a matrice >>>.
Cercherò di ridurre al minimo i calcoli teorici, in alcuni punti sono possibili spiegazioni "sulle dita" e l'uso di termini non scientifici. Amanti della solida teoria, per favore non impegnatevi in critiche, il nostro compito è imparare a lavorare con le matrici.
Per una preparazione SUPER VELOCE sull'argomento (chi "brucia") c'è un corso intensivo in pdf Matrice, determinante e offset!
Una matrice è una tabella rettangolare di alcuni elementi. COME elementi considereremo numeri, cioè matrici numeriche. ELEMENTOè un termine. È opportuno ricordare il termine, ricorrerà spesso, non a caso ho usato il grassetto per evidenziarlo.
Designazione: le matrici sono generalmente denotate da lettere latine maiuscole
Esempio: Consideriamo una matrice due per tre:
Questa matrice è composta da sei elementi:
Tutti i numeri (elementi) all'interno della matrice esistono da soli, cioè non si tratta di alcuna sottrazione: 
È solo una tabella (set) di numeri!
Saremo anche d'accordo non riordinare numero, se non diversamente specificato nella spiegazione. Ogni numero ha la sua posizione e non puoi mescolarli!
La matrice in questione ha due righe: 
e tre colonne: 
STANDARD: quando si parla delle dimensioni della matrice, quindi All'inizio indicare il numero di righe e solo allora il numero di colonne. Abbiamo appena scomposto la matrice due per tre.
Se il numero di righe e colonne di una matrice è lo stesso, viene chiamata la matrice piazza, Per esempio: 
è una matrice tre per tre.
Se la matrice ha una colonna o una riga, vengono chiamate anche tali matrici vettori.
Conosciamo infatti il concetto di matrice fin dai tempi della scuola, si consideri, ad esempio, un punto di coordinate "x" e "y": . In sostanza, le coordinate di un punto sono scritte in una matrice uno a due. A proposito, ecco un esempio per te del perché l'ordine dei numeri è importante: e sono due punti completamente diversi del piano.
Ora passiamo allo studio. operazioni matriciali:
1) Azione uno. Rimozione di un segno meno da una matrice (introduzione di un segno meno in una matrice).
Torniamo alla nostra matrice 
. Come probabilmente avrai notato, ci sono troppi numeri negativi in questa matrice. Questo è molto scomodo in termini di esecuzione di varie azioni con la matrice, è scomodo scrivere così tanti svantaggi e sembra semplicemente brutto nel design.
Spostiamo il segno meno all'esterno della matrice cambiando il segno di OGNI elemento della matrice:
A zero, come capisci, il segno non cambia, zero - è anche zero in Africa.
Esempio inverso: 
. Sembra brutto.
Introduciamo un meno nella matrice cambiando il segno di OGNI elemento della matrice:
Beh, è molto più carino. E, cosa più importante, sarà PIÙ FACILE eseguire qualsiasi azione con la matrice. Perché esiste un segno popolare così matematico: più svantaggi: maggiore è la confusione e gli errori.
2) Azione due. Moltiplicare una matrice per un numero.
Esempio:
È semplice, per moltiplicare una matrice per un numero, è necessario ogni moltiplicare l'elemento di matrice per il numero dato. In questo caso, tre.
Altro esempio utile:
– moltiplicazione di una matrice per una frazione
Diamo prima un'occhiata a cosa fare NON C'È BISOGNO:
NON È NECESSARIO inserire una frazione nella matrice, in primo luogo rende solo difficili ulteriori azioni con la matrice e, in secondo luogo, rende difficile per l'insegnante verificare la soluzione (soprattutto se 
- la risposta finale del compito).
E specialmente, NON C'È BISOGNO dividere ogni elemento della matrice per meno sette:
Dall'articolo Matematica per i manichini o da dove cominciare, ricordiamo che le frazioni decimali con una virgola in matematica superiore stanno cercando in ogni modo possibile di evitare.
L'unica cosa auspicabile fare in questo esempio è inserire un meno nella matrice:
Ma se TUTTO gli elementi della matrice sono stati divisi per 7 senza traccia, allora sarebbe possibile (e necessario!) dividere.
Esempio:
In questo caso, puoi BISOGNO DI moltiplicare tutti gli elementi della matrice per , poiché tutti i numeri nella matrice sono divisibili per 2 senza traccia.
Nota: nella teoria della matematica superiore non esiste il concetto scolastico di "divisione". Invece della frase "questo è diviso per questo", puoi sempre dire "questo è moltiplicato per una frazione". Cioè, la divisione è un caso speciale di moltiplicazione.
3) Azione tre. Trasposizione matriciale.
Per trasporre una matrice, devi scrivere le sue righe nelle colonne della matrice trasposta.
Esempio:
Matrice trasponi
C'è solo una riga qui e, secondo la regola, deve essere scritta in una colonna:
è la matrice trasposta.
La matrice trasposta è solitamente indicata da un apice o da un tratto in alto a destra.
Esempio passo dopo passo:
Matrice trasponi 
Innanzitutto, riscriviamo la prima riga nella prima colonna:
Quindi riscriviamo la seconda riga nella seconda colonna: 
E infine, riscriviamo la terza riga nella terza colonna:
Pronto. In parole povere, trasporre significa girare la matrice su un lato.
4) Azione quattro. Somma (differenza) di matrici.
La somma di matrici è un'operazione semplice.
NON TUTTE LE MATRICI POSSONO ESSERE PIEGATE. Per eseguire l'addizione (sottrazione) di matrici, è necessario che siano della STESSA DIMENSIONE.
Ad esempio, se viene data una matrice due per due, può essere aggiunta solo a una matrice due per due e nessun'altra! 
Esempio:
Aggiungi matrici 
E 
Per aggiungere matrici, devi aggiungere i loro elementi corrispondenti:
Per la differenza di matrici, la regola è simile, è necessario trovare la differenza degli elementi corrispondenti.
Esempio:
Trova differenza di matrici 
, 
E come risolvere questo esempio più facilmente, in modo da non confondersi? Si consiglia di eliminare gli svantaggi non necessari, per questo aggiungeremo un segno meno alla matrice:
Nota: nella teoria della matematica superiore non esiste il concetto scolastico di "sottrazione". Invece della frase "sottrai questo da questo", puoi sempre dire "aggiungi un numero negativo a questo". Cioè, la sottrazione è un caso speciale di addizione.
5) Azione cinque. Moltiplicazione di matrici.
Quali matrici possono essere moltiplicate?
Affinché una matrice venga moltiplicata per una matrice, in modo che il numero di colonne della matrice sia uguale al numero di righe della matrice.
Esempio:
È possibile moltiplicare una matrice per una matrice?
Quindi, puoi moltiplicare i dati della matrice.
Ma se le matrici vengono riorganizzate, allora, in questo caso, la moltiplicazione non è più possibile!
Pertanto, la moltiplicazione è impossibile:
Non è raro per i compiti con un trucco, quando a uno studente viene chiesto di moltiplicare matrici, la cui moltiplicazione è ovviamente impossibile.
Va notato che in alcuni casi è possibile moltiplicare le matrici in entrambi i modi.
Ad esempio, per le matrici, sono possibili sia la moltiplicazione che la moltiplicazione
Quindi, servizi per la risoluzione di matrici online:
Il servizio Matrix consente di eseguire trasformazioni elementari di matrici.
Se hai un'attività per eseguire una trasformazione più complessa, questo servizio dovrebbe essere utilizzato come costruttore.
Esempio. Dati di matrice UN E B, bisogno di trovare C = UN -1 * B + B T ,
- Dovresti prima trovare matrice inversaA1 = UN-1 , utilizzando il servizio per trovare la matrice inversa ;
- Inoltre, dopo aver trovato la matrice A1 fallo moltiplicazione di matriciA2 = A1 * B, utilizzando il servizio per la moltiplicazione di matrici;
- Facciamolo trasposizione matricialeA3 = B T (servizio per la ricerca della matrice trasposta);
- E l'ultimo: trova la somma delle matrici CON = A2 + A3(servizio per il calcolo della somma delle matrici) - e otteniamo una risposta con la soluzione più dettagliata!;
Prodotto di matrici
Questo è un servizio online due passi:
- Immettere la prima matrice dei fattori UN
- Immettere la matrice del secondo fattore o il vettore colonna B
Moltiplicazione di una matrice per un vettore
La moltiplicazione di una matrice per un vettore può essere trovata utilizzando il servizio Moltiplicazione di matrici
(Il primo fattore sarà la matrice data, il secondo fattore sarà la colonna costituita dagli elementi del vettore dato)
Questo è un servizio online due passi:
- Inserisci matrice UN, per il quale devi trovare la matrice inversa
- Ottieni una risposta con una soluzione dettagliata per trovare la matrice inversa
Determinante di matrice
Questo è un servizio online un passo:
- Inserisci matrice UN, per il quale devi trovare il determinante della matrice
Trasposizione matriciale
Qui puoi seguire l'algoritmo di trasposizione della matrice e imparare a risolvere da solo tali problemi.
Questo è un servizio online un passo:
- Inserisci matrice UN, che deve essere recepita
Rango della matrice
Questo è un servizio online un passo:
- Inserisci matrice UN, per il quale è necessario trovare il rango
Autovalori di matrice e autovettori di matrice
Questo è un servizio online un passo:
- Inserisci matrice UN, per il quale è necessario trovare autovettori e autovalori (autovalori)
Esponenziamento della matrice
Questo è un servizio online due passi:
- Inserisci matrice UN, che sarà elevato al potere
- Inserisci un numero intero Q- grado
1° anno, matematica superiore, studio matrici e le azioni di base su di essi. Qui sistemiamo le principali operazioni che possono essere eseguite con le matrici. Come iniziare con le matrici? Naturalmente, dal più semplice: definizioni, concetti di base e operazioni più semplici. Ti assicuriamo che le matrici saranno comprese da chiunque dedichi loro almeno un po' di tempo!
Definizione di matrice
Matriceè una tavola rettangolare di elementi. Bene, se in termini semplici: una tabella di numeri.
Le matrici sono solitamente denotate da lettere latine maiuscole. Ad esempio, matrice UN , matrice B e così via. Le matrici possono essere di diverse dimensioni: rettangolari, quadrate, esistono anche matrici riga e matrici colonna dette vettori. La dimensione della matrice è determinata dal numero di righe e colonne. Ad esempio, scriviamo una matrice rettangolare di dimensioni M SU N , Dove M è il numero di linee, e N è il numero di colonne.
Elementi per i quali io=j (a11, a22, .. ) formano la diagonale principale della matrice e sono chiamate diagonali.
Cosa si può fare con le matrici? Aggiungi/Sottrai, moltiplicare per un numero, moltiplicarsi tra loro, trasporre. Ora su tutte queste operazioni di base sulle matrici in ordine.
Operazioni di addizione e sottrazione di matrici
Ti avvertiamo subito che puoi aggiungere solo matrici della stessa dimensione. Il risultato è una matrice della stessa dimensione. Aggiungere (o sottrarre) matrici è facile − basta aggiungere i loro elementi corrispondenti . Facciamo un esempio. Eseguiamo l'addizione di due matrici A e B di dimensione due a due.
La sottrazione viene eseguita per analogia, solo con il segno opposto.
Qualsiasi matrice può essere moltiplicata per un numero arbitrario. Per fare questo, devi moltiplicare per questo numero ciascuno dei suoi elementi. Ad esempio, moltiplichiamo la matrice A del primo esempio per il numero 5:
Operazione di moltiplicazione di matrici
Non tutte le matrici possono essere moltiplicate tra loro. Ad esempio, abbiamo due matrici: A e B. Possono essere moltiplicate l'una per l'altra solo se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B. Inoltre, ogni elemento della matrice risultante nella i-esima riga e nella j-esima colonna sarà uguale alla somma dei prodotti degli elementi corrispondenti nella i-esima riga del primo fattore e nella j-esima colonna del secondo. Per comprendere questo algoritmo, scriviamo come vengono moltiplicate due matrici quadrate:
E un esempio con numeri reali. Moltiplichiamo le matrici:
Operazione di trasposizione della matrice
La trasposizione della matrice è un'operazione in cui le righe e le colonne corrispondenti vengono scambiate. Ad esempio, trasponiamo la matrice A dal primo esempio:
Determinante di matrice
Il determinante, oh il determinante, è uno dei concetti base dell'algebra lineare. C'era una volta, le persone inventavano equazioni lineari e dopo di esse dovevano inventare un determinante. Alla fine, sta a te affrontare tutto questo, quindi l'ultima spinta!
Il determinante è una caratteristica numerica di una matrice quadrata, necessaria per risolvere molti problemi.
Per calcolare il determinante della matrice quadrata più semplice, è necessario calcolare la differenza tra i prodotti degli elementi delle diagonali principale e secondaria.
Il determinante di una matrice del primo ordine, cioè costituita da un elemento, è uguale a questo elemento.
E se la matrice fosse tre per tre? Questo è più difficile, ma si può fare.
Per tale matrice, il valore del determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della diagonale principale e dei prodotti degli elementi giacenti su triangoli con faccia parallela alla diagonale principale, da cui il prodotto degli elementi della diagonale secondaria e il prodotto degli elementi giacenti su triangoli con faccia parallela alla diagonale secondaria.
Fortunatamente, nella pratica è raramente necessario calcolare le determinanti di grandi matrici.
Qui abbiamo considerato le operazioni di base sulle matrici. Ovviamente, nella vita reale, non puoi mai nemmeno imbatterti in un accenno a un sistema di equazioni a matrice, o viceversa, potresti incontrare casi molto più complessi in cui devi davvero scervellarti. È per questi casi che esiste un servizio professionale per gli studenti. Chiedi aiuto, ottieni una soluzione dettagliata e di alta qualità, goditi il successo accademico e il tempo libero.
Le matrici in matematica sono uno degli oggetti più importanti di importanza applicata. Spesso un'escursione nella teoria delle matrici inizia con le parole: "Una matrice è una tavola rettangolare ...". Inizieremo questa escursione da un'angolazione leggermente diversa.
Le rubriche telefoniche di qualsiasi dimensione e con qualsiasi numero di dati degli abbonati non sono altro che matrici. Queste matrici hanno questo aspetto:
È chiaro che tutti usiamo tali matrici quasi ogni giorno. Queste matrici sono disponibili in vari numeri di righe (distinte come un elenco emesso dalla compagnia telefonica, che può contenere migliaia, centinaia di migliaia e persino milioni di righe, e un nuovo taccuino appena iniziato, che ha meno di dieci righe) e colonne (un elenco di funzionari di qualche organizzazione in cui potrebbero esserci colonne come posizione e numero di ufficio e lo stesso il tuo taccuino, dove potrebbero non esserci dati diversi dal nome e, quindi, ha solo due colonne: nome e numero di telefono).
È possibile aggiungere e moltiplicare tutti i tipi di matrici e su di esse è possibile eseguire altre operazioni, ma non è necessario aggiungere e moltiplicare elenchi telefonici, non c'è alcun vantaggio da ciò e inoltre è possibile spostare la mente.
Ma moltissime matrici possono e devono essere aggiunte e moltiplicate e vari compiti urgenti possono essere risolti in questo modo. Di seguito sono riportati esempi di tali matrici.
Matrici in cui le colonne sono la produzione di unità di un particolare tipo di prodotto e le righe sono gli anni in cui è registrata la produzione di questo prodotto:
È possibile aggiungere matrici di questo tipo, che tengono conto della produzione di prodotti simili da parte di diverse imprese, per ottenere dati di sintesi per l'industria.
Oppure matrici, costituite, ad esempio, da una colonna, in cui le righe rappresentano il costo medio di un particolare tipo di prodotto:
Le matrici degli ultimi due tipi possono essere moltiplicate e, di conseguenza, si otterrà una matrice di righe contenente il costo di tutti i tipi di prodotti per anno.
Matrici, definizioni di base
Tavolo rettangolare composto da numeri disposti in M linee e N colonne è chiamato mn-matrice (o semplicemente matrice ) e scritto così:
(1)
Nella matrice (1) i numeri sono chiamati suoi elementi (come nel determinante, il primo indice indica il numero della riga, il secondo - la colonna, all'intersezione della quale c'è un elemento; io = 1, 2, ..., M; J = 1, 2, N).
La matrice è chiamata rettangolare , Se .
Se M = N, quindi viene chiamata la matrice piazza , e il numero n è suo al fine .
Il determinante della matrice quadrata A è chiamato il determinante i cui elementi sono gli elementi della matrice UN. È indicato dal simbolo | UN|.
La matrice quadrata è chiamata non speciale (O non degenerato , non singolare ) se il suo determinante non è uguale a zero, e speciale (O degenerare , singolare ) se il suo determinante è zero.
Le matrici sono chiamate pari se hanno lo stesso numero di righe e colonne e tutti gli elementi corrispondenti sono uguali.
La matrice è chiamata nullo se tutti i suoi elementi sono uguali a zero. La matrice zero sarà indicata dal simbolo 0 O .
Per esempio,
matrice di riga (O minuscolo ) si chiama 1 N-matrice, e matrice di colonne (O colonnare ) – M 1-matrice.
Matrice UN" , che si ottiene dalla matrice UN si chiama lo scambio di righe e colonne al suo interno trasposto rispetto alla matrice UN. Pertanto, per la matrice (1), la matrice trasposta è
Transizione all'operazione matriciale UN" , trasposto rispetto alla matrice UN, si chiama trasposizione della matrice UN. Per mn-matrice trasposta è nm-matrice.
La matrice trasposta rispetto alla matrice è UN, questo è
(UN")" = UN .
Esempio 1 Trova Matrice UN" , trasposto rispetto alla matrice
e scoprire se le determinanti delle matrici originale e trasposta sono uguali.
diagonale principale Una matrice quadrata è una linea immaginaria che collega i suoi elementi, per i quali entrambi gli indici sono uguali. Questi elementi sono chiamati diagonale .
Viene chiamata una matrice quadrata in cui tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono uguali a zero diagonale . Non tutti gli elementi diagonali di una matrice diagonale sono necessariamente diversi da zero. Alcuni di essi possono essere uguali a zero.
Si chiama una matrice quadrata in cui gli elementi sulla diagonale principale sono uguali allo stesso numero diverso da zero e tutti gli altri sono uguali a zero matrice scalare .
matrice identità è chiamata matrice diagonale in cui tutti gli elementi diagonali sono uguali a uno. Ad esempio, la matrice identità del terzo ordine è la matrice
Esempio 2 Dati matrice:
Soluzione. Calcoliamo le determinanti di queste matrici. Usando la regola dei triangoli, troviamo
Determinante di matrice B calcolare con la formula 
Lo capiamo facilmente 
Pertanto, le matrici UN e sono non singolari (non degeneri, non singolari) e la matrice B- speciale (degenerato, singolare).
Il determinante di una matrice identità di qualsiasi ordine è ovviamente uguale a uno.
Risolvi tu stesso il problema della matrice e poi vedi la soluzione
Esempio 3 Dati di matrice
,
,
Determina quali di essi sono non singolari (non degenerati, non singolari).
Applicazione delle matrici nella modellazione matematica ed economica
Sotto forma di matrici, i dati strutturati su un particolare oggetto sono scritti in modo semplice e conveniente. I modelli a matrice vengono creati non solo per memorizzare questi dati strutturati, ma anche per risolvere vari problemi con questi dati utilizzando l'algebra lineare.
Pertanto, il noto modello a matrice dell'economia è il modello "input-output", introdotto dall'economista americano di origine russa Wassily Leontiev. Questo modello si basa sul presupposto che l'intero settore manifatturiero dell'economia sia suddiviso in N industrie pulite. Ciascuna delle industrie produce un solo tipo di prodotto e diverse industrie producono prodotti diversi. A causa di questa divisione del lavoro tra le industrie, esistono relazioni interindustriali, il cui significato è che parte della produzione di ciascuna industria viene trasferita ad altre industrie come risorsa di produzione.
Volume di produzione io-esimo settore (misurato da una specifica unità di misura) che è stato prodotto durante il periodo di riferimento, indicato con e chiamato produzione totale io esimo settore. I problemi sono opportunamente inseriti N riga -componente della matrice.
Numero di unità di prodotto io-esima industria da spendere J-esimo settore per la produzione di un'unità della sua produzione, è indicato e chiamato il coefficiente dei costi diretti.
